Cierre de extensiones cuadráticas bajo tomar poderes

Question

Me voy a dar una prueba de la siguiente.

TEOREMA: Vamos a $x = p+\sqrt{q}$,$p,q \in \mathbb{Q}$, e $m$ un entero. A continuación,$x^m = a+b\sqrt{q}$$a,b \in \mathbb{Q}$.

PRUEBA

Usando el Teorema del Binomio

$${x^m} = C_0^m{p^m} + C_1^m{p^{m - 1}}{q^{\frac{1}{2}}} + C_2^m{p^{m - 2}}{q^{\frac{2}{2}}} + \cdots + C_{m - 2}^m{p^2}{q^{\frac{{m - 2}}{2}}} + C_{m - 1}^mp{q^{\frac{{m - 1}}{2}}} + C_m^m{q^{\frac{m}{2}}}$$

Deje $m= 2·j$

$${x^{2j}} = C_0^{2j}{p^{2j}} + C_1^{2j}{p^{2j - 1}}{q^{\frac{1}{2}}} + C_2^{2j}{p^{2j - 2}}{q^{\frac{2}{2}}} + \cdots + C_{2j - 2}^{2j}{p^2}{q^{\frac{{2j - 2}}{2}}} + C_{2j - 1}^{2j}p{q^{\frac{{2j - 1}}{2}}} + C_{2j}^{2j}{q^{\frac{{2j}}{2}}}$$

Agrupación produce

$${x^{2j}} = \sum\limits_{k = 0}^j {C_{2k}^{2j}{p^{2j - 2k}}{q^k}} + \sum\limits_{k = 1}^j {C_{2k - 1}^{2j}{p^{2j - 2k + 1}}{q^{k - 1}}\sqrt q } $$

Pero, como cada coeficiente binomial es un entero, y sobre todo poder de $p$ $q$ es racional, entonces uno tiene

$${x^{2j}} = a+b\sqrt{q} \text{ ; and } a,b \in \mathbb{Q}$$ where $b$ and $$ son las sumas.

Si $m = 2j+1$

$$x^{2j+1} =(a+b\sqrt{q}) (p+\sqrt{q}) = c+d\sqrt{q}$$

que también está en nuestro set.

(No sé si el anillo de la teoría de la etiqueta es apropiado.)

Answer 1

Parece correcto, pero es mucho más complicados de lo que debe ser. Usted puede hacer esto fácilmente por inducción, y sin necesidad de el teorema del binomio:

Deje $a,b,c,d \in \mathbb{Q}$.

Si podemos escribir $$(a+b\sqrt{q})(c+d\sqrt{q}) = r+s\sqrt{q} \qquad (*)$$ para algunos $r,s \in \mathbb{Q}$, entonces estamos realiza por inducción.

Por qué? Debido a que este le dirá que cualquier producto finito de elementos de la forma $a+b\sqrt{q}$ va a tener el mismo formato, y un caso especial de esto es un entero positivo, el poder de un elemento de dicho formulario, por ejemplo,$(p+\sqrt{q})^m$.

Así que expandir el lado izquierdo de $(*)$ dice que la elección de $$r = ac + bdq\ ,\ s = ad+bc$$ trabaja desde $q$ es racional.

Answer 2

Más conceptualmente y de manera más general, supongamos $\alpha$ es la raíz de un monic polinomio sobre un anillo de $R$

$$\alpha^n\ =\ r_{n-1}\ \alpha^{n-1} +\:\cdots\:+r_1\ \alpha + r_0$$

Multiplicando el anterior por $\alpha$, y el uso de la anterior como una regla de reescritura para reemplazar a $\alpha^n$ por las potencias inferiores en el lado derecho, podemos deducir que $\alpha^{n+1}$ también puede ser expresado como en la RHS. Por inducción también lo puede todo poder de $\alpha$, por lo tanto $R[\alpha] = R + \alpha\ R +\:\cdots\:+ \alpha^{n-1}\ R$, es decir, cada polinomio en $\alpha$ con coeficientes en $R$ es igual a uno de grado $< n$.

Equivalentemente, si monic $g(\alpha)= 0 $ $g(x)\in R[x]$ grado $n$, entonces, por el Algoritmo de la División, cualquier polinomio $f(\alpha)$ es equivalente a un $h(\alpha)$ grado $< n$ donde $h(x)$ es el resto de $f(x)$ mod $g(x)$

$$ f(x)\ =\ q(x)\ g(x) + h(x)\ \ \Rightarrow\ \ f(\alpha)\ =\ h(\alpha)\ \ by\ \ g(\alpha) = 0 $$

Recordemos que la alta escuela de la División larga (con el Resto) Algoritmo funciona para cualquier monic polinomio sobre cualquier anillo, por lo que el la por encima de lo normal-form grado de reducción del algoritmo funciona para cualquier elemento $\alpha$ que es una raíz de monic polinomio. Tal $\alpha$ generalizar puro radicales $\sqrt[n]{r},\ r\in R$ y son conocidos como algebraica de los números enteros más de $R$, un concepto fundamental en la teoría de números y álgebra.