Propiedades de un mapa continuo $f : \mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}$ con sólo un número finito de ceros

Question

Dejemos que $f : \mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}$ sea un mapa continuo tal que $f(x)=0$ sólo para un número finito de valores de $x$ . ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es cierta?

• O bien $f(x)\leq 0$ para todos $x$ o $f(x)\geq 0$ para todos $x$ .
• el mapa $f$ está en.
• el mapa $f$ es uno.
• Ninguna de las anteriores.

Lo que he hecho hasta ahora es :

• Yo tomaría el polinomio en dos variables.. Esto no tiene que ser como $f(x)\geq 0$ para todos $x$ o $f(x)\geq 0$ para todos $x$ así que la primera opción queda eliminada.
• El mapa no es uno asumiendo que $f$ tiene más de un cero. Por lo tanto, la tercera opción es incorrecta.

No se me ocurre un ejemplo en el que no sea onto..

Los únicos ejemplos que me vienen a la mente son los polinomios y son onto..

Entonces, tengo problemas con la subjetividad de la función.

Por favor, ayúdenme a aclarar esto.

Gracias

Answer 1

• O bien $f(x)\leq 0$ para todos $x$ o $f(x)\geq 0$ para todos $x$ .

Este es el más interesante. Es puede suceder que $f$ no cambia de signo en estas condiciones: toma $u^2+v^2$ por ejemplo (si se escribe $x=(u,v)$ ). Es positivo y tiene un número finito de ceros (uno solo). Se puede tener cualquier número de ceros con $\prod_{i=1}^n \left((u-u_i)^2+(v-v_i)^2\right)$ . Observa que ninguno de estos polinomios cambia signo.

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Ahora, curiosamente, si una función continua $f$ de $\Bbb R^2 \to \Bbb R$ tiene un número finito de ceros, entonces nunca puede cambiar de signo.

Supongamos lo contrario, entonces hay dos puntos x e y tales que $f(x)>0$ y $f(y)<0$ . Como sólo tiene un número finito de ceros, debe ser positivo para infinitos puntos, o negativo para infinitos puntos, o ambos. Supongamos lo primero, sin pérdida de generalidad porque, de lo contrario, podríamos tomar $-f$ . Así que, $f$ es positivo para infinitos puntos (y quizás también negativo para infinitos otros, pero no nos importa).

Dibuja un rayo desde $y$ en cualquier dirección $d$ . Si "alcanza" un valor positivo de $f$ Es decir $f(y+\lambda_d d)>0$ para algunos $\lambda_d>0$ , entonces hay un cero de $f$ que se encuentra entre $y_d=y+\lambda_d d$ y $y$ por la continuidad de $f$ y sobre todo por la continuidad de la restricción, $\lambda \to f(y+\lambda d)$ .

Ahora bien, pueden darse dos casos:

• para infinitas direcciones, se puede encontrar tal $y_d$ por lo que hay infinitos ceros de $f$ (todos son diferentes, ya que están en diferentes rayos), contradicción.

• sólo se puede encontrar un número finito de tales direcciones. Por lo tanto, para infinitas direcciones, sólo encontrarás valores negativos o nulos a lo largo de la semirrecta. Ahora, dibuja un círculo centrado en $y$ con un radio mayor que $|x-y|$ para que su punto $x$ está dentro del círculo. Para infinitos puntos $t_i$ en este círculo, $f(t_i) \leq 0$ . Pero $f$ tiene un número finito de ceros, por lo que, efectivamente, para infinitos puntos $x_i$ en este círculo, $f(x_i) < 0$ (con desigualdad estricta). Pero entonces, los rayos de trazado entre $x_i$ y $x$ y volverás a encontrar infinitos ceros de $f$ Por lo tanto, de nuevo una contradicción.

Y ya está.

La prueba me parece bastante enrevesada, quizá haya algún argumento obvio que no he visto.

Por cierto, es trivial generalizar a $\Bbb R^n$ para $n>1$ : sólo elige la restricción de $f$ a un plano en el que tomaría valores positivos y negativos.

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Intentaré añadir un poco de intuición. Lamentablemente, no tengo un escáner para mostrar fotos...

Es fácil encontrar un polinomio que tenga cualquier número dado $n$ de ceros, como se muestra arriba. Pero estos ejemplos son siempre negativos o siempre positivos, por lo que no puedes sacar ninguna conclusión de ello. Recuerda que estás en $\Bbb R^2 \to \Bbb R$ por lo que los polinomios no tienen necesariamente un número finito de ceros. Y en realidad, a menudo se obtiene una curva de ceros, y es una forma habitual de definir curvas, por ejemplo el círculo unitario, definido como ceros de $(u,v) \to u^2+v^2-1$ .

Ahora, supongamos que $f$ toma valores positivos y negativos. Entonces $f^{-1}(]-\infty,0[)$ y $f^{-1}(]0, +\infty[)$ son ambos conjuntos abiertos. Mi idea era que si ambos son no vacíos, el límite no puede ser finito.

Ahora bien, la forma más fácil de encontrar un cero de una función continua es si se trata de una función de una variable, y se sabe que tiene un valor positivo y otro negativo: basta con utilizar el viejo algoritmo de bisección.

Así, el trazado de rayos (o semilíneas) permite observar sólo las funciones de una variable. Lo único que queda por hacer es encontrar suficientes ceros, es decir, suficientes direcciones, que se presten a una contradicción.

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Aunque los otros dos puntos de la pregunta tienen contraejemplos fáciles, es interesante ver si pueden ocurrir.

• el mapa $f$ está en.

Eso es, surjective .

No necesariamente. Toma $(u,v) \to \frac{1}{1+u^2+v^2}$ que tiene un número finito de ceros (ninguno) y está acotado.

Pero, como se ve en la respuesta al primer caso, $f$ no puede cambiar de signo, por lo que siempre es $\leq 0$ o siempre $\geq 0$ Por lo tanto, ciertamente nunca en $\Bbb R$ .

• el mapa $f$ es uno.

No si hay más de un cero, por supuesto, y ya vimos ejemplos anteriormente.

Pero, ¿podría suceder en absoluto? No, aquí hay una prueba: ¿Existe una biyección continua desde $\mathbb{R}$ a $\mathbb{R}^2$ . También se puede concluir utilizando el hecho de que si $f$ es continua y biyectiva, tiene un cero, por lo tanto no cambia de signo, contradicción porque entonces no puede ser biyectiva.