Puede una norma que tomar valor infinito? Por ejemplo, $\|\cdot \|_1$?

Question

Una definición de la norma de la Wikipedia dice

Dado un espacio vectorial $V$ más de un subcampo $F$ de los números complejos, una norma en $V$ es una función de $p: V → \mathbb{R}$ con las siguientes propiedades:

Para todos los $a ∈ F$ y todos los $u, v ∈ V$,

• $p(av) = |a| p(v)$, (positiva de la homogeneidad o positivo escalabilidad).
• $p(u + v) ≤ p(u) + p(v)$ (desigualdad de triángulo o subadditivity).
• Si $p(v) = 0$ $v$ es el vector cero (se separa puntos).

Puede una norma que tomar el valor $+\infty$? Creo que la topología de la convergencia y de lo que yo tenía en mente. Si queremos modificar la definición de una norma para permitir que se tome $\infty$, en una norma generalizada espacio, ¿no es inducir una topología, de modo que podemos hablar de convergencia en relación a la generalización de la norma es equivalente a la convergencia relativa a la inducida por la topología?

Mi pregunta viene de un ejemplo: ¿es $\|\cdot \|_1$ definido en todas las funciones medibles que pueden tener infinitas las integrales no sólo finito integrales?

Gracias!

Answer 1

La definición de la norma a través de algunas espacio lineal $V$ dice explícitamente que $\|\cdot\|:V\to\Bbb R_+$, lo que significa que no existan $x\in V$ tal que $\|x\| = \infty$. Esto hace que $V$ a ser una normativa espacio, y el hecho de que $\|\cdot\|$ tiene una gama limitada es importante que cada vez que lidiar con una norma.

Sin embargo, cuando ya estamos trabajando con algunos de espacio lineal, decir $V = \mathfrak B([0,1])$ siendo el espacio de todos los Borel medible de funciones con un dominio $[0,1]$, que no siempre se puede hacer exactamente este espacio sea una normativa espacio. Lo que podemos hacer es introducir una norma-como la función $\|\cdot\|'$ $V$ con un rango de $[0,\infty]$ y definir $$ V':=\{x\in B:\/x\|'<\infty\}\etiqueta{1} $$ a la normativa del espacio, que es un subespacio lineal de $V$. Por ejemplo, podemos decir que $$ \|x\|':=\sup_{t\in [0,1]}|x(t)| $$ que no es una norma en $V = \mathfrak B(\Bbb R)$, ya que para $x(t) = 1_{t>0}\cdot\frac1t$ tenemos $\|x\|' = \infty$. Sin embargo, cuando se limita a $V'$ - el espacio de todas las funciones medibles cuyas $\|\cdot\|'$ es acotado, se trata de una norma.

El mismo argumento se aplica a la norma $\|\cdot\|_1$:

1. Escoge un candidato espacio lineal $V$ a introducir una norma, por ejemplo, un espacio de funciones medibles.

2. Introducir un candidato $\|\cdot\|'$ por una norma, que puede tomar infinitos valores. Tenga en cuenta que en tal caso $\|\cdot\|'$ no es una norma, y por lo tanto $(V,\|\cdot\|')$ no es una normativa espacio.

3. Se definen $V'\subseteq V$ según $(1)$ y, a continuación, mostrar que $(V',\|\cdot\|')$ es una normativa espacio.

Answer 2

Normas con infinitos valores se discuten aquí, donde son llamados extendido normas.

Como se señaló en Anguepa la respuesta, extendido normas $||\cdot||$ definir extendido métricas $d(x,y)=||x-y||$ que definir topologías generado por bolas $B_x^r=\{y\in V:d(x,y)<r\}$ en la forma habitual. Sin embargo, esta topología se desconecta si $||x||=\infty$ cualquier $x\in V$. De hecho, si el campo escalar $F$ $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$, a continuación, los componentes conectados será, precisamente, el de clases de equivalencia definidas por la relación $||x-y||<\infty$, como se menciona en el enlace de arriba. En particular, cualquier $x\in V$ $||x||=\infty$ tendrá una duración de una discreta uno dimesional subespacio, algo que nunca ocurre en un (finitely) normativa real o complejo espacio vectorial.

Alternativamente, uno podría considerar la topología generada por los agujeros $H_x^r=\{y\in V:d(x,y)>r\}$, pero este tiene su propio extrañas propiedades. Por ejemplo, el agujero de la topología en $\mathbb{R}$ $T_1$ pero no Hausdorff e incluso hiperconectado en el que no hay disjuntos no vacíos abrir subconjuntos.

Generalmente, cuando se trata de un espacio vectorial sin canónica (finito) de la norma, uno tiende a encontrar otras maneras de definir topologías naturales con propiedades de convergencia. Por ejemplo, con funciones medibles usted podría considerar la posibilidad de convergencia en la medida que, mientras no se define por una norma, es, al menos, definido por una métrica.

Answer 3

Aunque no es una norma per se, se puede considerar que las valoraciones en grandes ordenó campos que se extienden de los números reales.

Por ejemplo se puede considerar una "verdadera norma" en un hyperreal campo. Hay otras dificultades que pueden surgir a partir de esta (por ejemplo, la integridad del campo subyacente ya no se pueden utilizar). Sin embargo es posible definir algo así como que, en caso de que un vector cuya norma es un hyperreal que es mayor que todos los números reales puede ser considerado como un infinito norma.

Tenga en cuenta que esta "norma" no tiene que ser compatible con la estructura de espacio vectorial, y un montón de modificaciones pueden ser necesarias. Si usted desea considerar seriamente la posibilidad de definir la estructura podría ser muy sabio para aprender acerca de las valoraciones, posiblemente uniforme de la topología, y tratar de definir este paso a paso.

Recuerda que a veces las cosas no son bien conocidos, debido a que no tienen ningún uso real para la mayoría de la gente, pero todavía puede ser un muy interesante ejercicio de sentarse y llegar a un nuevo conjunto de definiciones (incluso si más tarde se descubre que este conjunto de definición es conocido).

Answer 4

No está del todo claro lo que están pidiendo.

Deje $C((0,1))$ ser el espacio de funciones continuas en $(0,1)$ con la norma $\|x\|_\infty = \sup_{t \in (0,1)} |x(t)|$, y deje $X$ ser funciones continuas en $(0,1)$ con la norma $\|x\|_1 = \int_0^1 |x(t)| dt$. Si dejamos $x(t) = \frac{1}{\sqrt{t}}$,$x \in X$, pero $x \notin C((0,1))$. Sin embargo, tenemos $\|x\|_\infty = \infty$.

Answer 5

$\infty \notin \mathbb R$, por lo $\|\cdot\|$ no es un mapa en $\mathbb R$.