El que dice que $\mathbb R ^ n $ la distancia entre un punto de $b$ y un conjunto $X$ definido por $$ \inf \left\{ d\left( {b,x} \right) \,|\, x \X \right\} $$
La proposición:
Si X es cerrado, esta distancia se alcanza en algún punto en el set $X$.
Para demostrar que puedo suponer sin pérdida de generalidad que $X$ también es limitada, porque si no, se cruzaban con (por ejemplo) $$ B_b \left( n \right) = \left\{ {x \in \mathbb R^n \,|\,\, d\left( {b,x} \right) \leqslant n} \right\}, $$ donde $n$ por ejemplo, puede ser elegido como el primer número natural tal que la intersección no es vacía, y, obviamente, el resto de los puntos de $X$, están a una distancia mayor, y no va a ser candidatos.
A continuación, defina $$ f\left( x \right) = \left| {x - b} \right| \,\, \text{ para }x \in X $$ y ya que el dominio es compacto, llegamos a la conclusión de que el resultado, que alcanza su mínimo en algún punto en el conjunto. Esta demostración claramente no es cierto para cualquier espacio métrico, porque está cerrado y acotado no es suficiente para ser compacto en general, pero de todos modos tal vez puede ser mostrado en una forma más general. Esa es mi pregunta, ¿es esto cierto?
