Incluso para $C^\infty$ funciones $f\colon[0,1]\[0,1]$, es posible que $f(E)$ no es Borel para algunos conjuntos de Borel $E$.
Comenzando con el caso más sencillo que $f$ es necesaria sólo para ser continua, una forma de construir un contraejemplo es comenzar con un espacio de llenado de la curva de $g\colon[0,1]\[0,1]^2$, cuya imagen es la unidad completa de la plaza. A continuación, escribe $f=\pi\circ g$ donde $\pi\colon[0,1]^2\a[0,1]$ es el estándar de la proyección de $\pi(x,y)=x$. A continuación, es un estándar de hecho de que existen conjuntos de Borel $F\subconjunto[0,1]^2$, cuya proyección de $\pi(F)$ no es Borel. De hecho, las proyecciones de los conjuntos de Borel son precisamente los de la analítica de los conjuntos, y existen analítica de los conjuntos que no son Borel. Luego, tomando a $E=g^{-1}(F)$, esto es Borel conjunto cuya imagen bajo $f$ es el no-Borel conjunto $\pi(F)$.
Ahora, pasando a la diferenciable e, incluso, liso caso, la primera cosa a tener en cuenta es que la imagen de una función derivable $g\colon[0,1]\[0,1]^2$ debe haber cero de la medida de Lebesgue, por lo que no se puede llenar la plaza de la unidad. Sin embargo, esto no es necesario. Todo lo que necesitamos es que la imagen de $g$ $C^2$ para algunos cerró la multitud innumerable de $C\subconjunto[0,1]$ (por ejemplo, un conjunto de Cantor). Tales conjuntos son siempre Borel isomorfo a que el intervalo $[0,1]$ (como lo son todas las innumerables polaco espacios). Así, podemos proceder como se indica arriba y dejar que $E=g^{-1}(F)$ donde $F\subconjunto C^2$ es Borel tal que $\pi(F)$ no es Borel.
Así, queda por encontrar un cerrado innumerables $C\subconjunto[0,1]$ y liso $g\colon[0,1]\[0,1]^2$ con $C^2$ en su imagen. Voy a elegir $C$ 'delgado conjunto de Cantor'. Por esto, quiero decir que $C$ es construido de la misma manera como la grasa conjunto de Cantor, excepto que quitar más grandes y de mayores proporciones del conjunto en cada etapa de la construcción en lugar de los más pequeños y pequeñas proporciones. Elegir una secuencia de $\alpha_0,\alpha_1,\ldots\en(0,1/2)$ con $\alpha_n\to0$ como $n\to\infty$. A continuación, definir una secuencia de conjuntos cerrados de la siguiente manera. Deje De $C_0=[0,1]$. Por cada $n\ge0$, una vez $C_n$ elegido ha sido (y es un número finito de la unión de distintos intervalos cerrados), quitamos el centro $1-2\alpha_n$ proporción de cada intervalo en $C_n$ obtener $C_{n+1}$. Entonces, $C=\bigcap_nC_n$. Equivalentemente, $C$ es el conjunto de puntos que puede ser escrito como
$$
(1-\alpha_0)x_0+\alpha_0(1-\alpha_1)x_1+\alpha_0\alpha_1(1-\alpha_2)x_2+\alpha_0\alpha_1\alpha_2(1-\alpha_3)x_3+\cdots
$$
por $x_0,x_1,\ldots\en\lbrace0,1\rbrace$. Tenga en cuenta que si teníamos $\alpha_0=\alpha_1=\cdots=1/3$ entonces este es el habitual Cantor medio tercios conjunto.
Ahora, voy a describir la función $g$. Esto se hará en una inductivo de moda el uso de auto-similitud. Podemos establecer $g=g_0$ donde, por cada $n\ge0$, $g_n\colon[0,1]\[0,1]^2$ contiene la escala y tal vez refleja copias de otro mapa de $g_{n+1}$ en cada una de las cuatro esquinas de las secciones de $[0,\alpha_n]^2$, $[0,\alpha_n]\times[1-\alpha_n,1]$, $[1-\alpha_n,1]^2$, $[1-\alpha_n,1]\times[0,\alpha_n]$ de la unidad de la plaza, y sigue líneas rectas entre estas regiones. Esto es como en la imagen de abajo.
![smooth curve covering a thin Cantor dust]()
Deje que $\theta\colon[0,1]\[0,1]$ ser una función suave con $\theta(0)=0$, $\theta(1)=1$ y sus derivados todos se desvanecen en los extremos. Por ejemplo, $\theta(x)$ podría ser llevado a ser la integral de $\exp(-1/(x(1-x)))$ escala adecuada. Entonces, para ser precisos, definimos $g=g_0$ donde $g_n=(g_{n,1},g_{n,2})\colon[0,1]\[0,1]^2$ se define inductivamente por
$$
g_n(x)=\begin{casos}
\alpha_n(g_{n+1,2}(7x),g_{n+1,1}(7x))&{\rm si\ } 0\le x\le 1/7,\\[.3em]
(0,\alpha_n+(1-2\alpha_n)\theta(7x-1))&{\rm si\ } 1/7 < x < 2/7,\\[.3em]
\alpha_n(g_{n+1,1}(7x-2),g_{n+1,2}(7x-2)-1)+(0,1)&{\rm si\ } 2/7\le x\le 3/7,\\[.3em]
(\alpha_n+(1-2\alpha_n)\theta(7x-3),1-\alpha_n)&{\rm si\ } 3/7 < x < 4/7,\\[.3em]
\alpha_n(g_{n+1,1}(7x-4)-1,g_{n+1,2}(7x-4)-1)+(1,1)&{\rm si\ } 4/7 \le x \le 5/7,\\[.3em]
(1,1-\alpha_n-(1-2\alpha_n)\theta(7x-5))&{\rm si\ } 5/7 < x < 6/7,\\[.3em]
\alpha_n(-g_{n+1,2}(7x-6),1-g_{n+1,1}(7x-6))+(1,0)&{\rm si\ } 6/7 \le x \le 1.
\end{casos}
$$
Esto hace de forma exclusiva definir de $g$. Tenga en cuenta que si $\tilde g_n$ cualquier otra secuencia de funciones de la unidad de la plaza de la satisfacción de las mismas ecuaciones en recurrencia, entonces tenemos $\lVert\tilde g_n - g_n\rVert=\alpha_n\lVert\tilde g_{n+1} - g_{n+1}\rVert$, donde $\lVert\cdot\rVert$ es el supremum de la norma. También, ya que ambos mapa en la unidad de la plaza, $\lVert \tilde g_n-g_n\rVert\le\sqrt{2}$. Poniendo a estos en conjunto,
$$
\lVert\tilde g_n-g_n\rVert\le\alpha_n\alpha_{n+1}\cdots\alpha_{n+r-1}\sqrt{2}
$$
para todos $r\ge0$. Dejando de $i$ ir hasta el infinito muestra que $\tilde g_n=g_n$.
Podemos también construir una secuencia de suave aproximaciones a $g$. Por cada $N\ge0$ definir un mapa de $g_N^{(N)}(x)=(\theta(x),0)$. Entonces, inductivamente definir $g_{N-1}^{(N)},g_{N-2}^{(N)},\ldots,g_0^{(N)}$ el uso de la ecuación de recurrencia anterior. Tenga en cuenta que, en cada paso, $g^{(N)}_n$ es una función suave con $g^{(N)}_n(0)=(0,0)$ y $g^{(N)}_n(1)=(1,0)$, y cuyos derivados se desvanecen para todos los pedidos en los puntos finales. Luego, usando $D^rg$ para representar la r-esima orden de la derivada de una función $g$, tenemos
$$
\lVert D^rg_n^{(N)}\rVert=7^r\max\left(\alpha_n\lVert D^rg_{n+1}^{(N)}\rVert,(1-2\alpha_n)\lVert D^r\theta\rVert\right)
$$
para todos $r\ge1$. A partir de esto, podemos ver que $\lVert D^rg_n^{(N)}\rVert$ está delimitado por $(7^r\alpha_n)\cdots(7^r\alpha_{n+k-1})7^r\lVert D^r\theta\rVert$ $k\ge0$. Como elegimos $\alpha_n$ que tiende a cero, esto es acotado por una constante $L_r$ independientemente de $n,k$. Siguiente, para cualquiera de los números naturales $n < M\le$ N, la ecuación de recurrencia da
$$
\begin{align}
\lVert D^rg_n^{(M)}-D^rg_n^{(N)}\rVert &= 7^r\alpha_n\lVert D^rg_{n+1}^{(M)}-D^rg_{n+1}^{(N)}\rVert\cr
Y=(7^r\alpha_n)(7^r\alpha_{n+1})\cdots(7^r\alpha_{M-1})\lVert D^rg_M^{(M)}-D^rg_M^{(N)}\rVert\cr
&\le(7^r\alpha_n)(7^r\alpha_{n+1})\cdots(7^r\alpha_{M-1})2L_r
\end{align}
$$
De nuevo ya que hemos elegido $\alpha_n$ tiende a cero, esto muestra que $\lVert D^rg_n^{(M)}-D^rg_n^{(N)}\rVert$ tiende a cero a medida que $M,N$ ir hasta el infinito. Por lo tanto, la secuencia de funciones $g_n^{(N)}$ converge uniformemente como $N\to\infty$, junto con sus derivados para todos los pedidos. El límite de $g_n$, satisface la definición de recurrencia ecuaciones anteriores. Así, $g$ es infinitamente diferenciable.
Nótese, finalmente, que por la elección de $x=x_0/7+x_1/7^2+x_2/7^3+\cdots$ apropiadas $x_n\en\lbrace0,2,4,6\rbrace$ podemos encontrar $x$, de modo que $g(x)$ es igual a cualquier elemento deseado de $C^2$.
