La ecuación cuadrática puede ser pensado como la especificación de distancias en el plano Euclidiano. Se nos dice que el $x$-intersecciones de una función se producen a una distancia de $\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ de la $x$ coordenadas de max/min de punto. ¿Alguien sabe de un puramente geométrica de la solución de la ecuación cuadrática relativa a este hecho?
Respuesta
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Problema:
Deje $V(x_V,y_V)$ el vértice de una parábola cuyo coeficiente inicial es $a$. Encontrar sus raíces a través de la construcción geométrica.
Resolución:
- Dibujar la línea de $e$ perpendicular a $x$-eje, de tal manera que $V \in e$.
- Deje $A=e\cap x$-axis, marca los puntos de $B$ $C$ $x$- eje, de tal manera que $AB=|a|$$AC=1$.
- Marca el punto de $F$$e$, de tal manera que $FA=1$, e $V$ $F$ se encuentran en diferentes semi-planos relativos a $x$-eje.
- Dibujar una línea de $j$ paralelo a $VB$ a través de $C$.
- Deje $E=j \cap e$. Marca el punto de $G$$e$, de tal manera que $G$ es el punto medio de la $EF$.
- Dibujar un círculo $\lambda$ centrada en $G$ y cuyo radio es $GF$.
- Deje $\{H,I\}=\lambda \cap x$-eje. El abscissas de $H$ $I$ son las raíces de la ecuación cuadrática que tenemos cuando la parábola cruza el $x$-eje.
La siguiente imagen muestra un ejemplo.
Editar/Justificación
Recordar que: $$x_V= -\frac{b}{2a} \quad (1)$$ y $$y_V=-\frac{\Delta}{4a}. \quad (2)$$ Tenga en cuenta que: $$x_A=x_V\quad (3)$$ y $$AV=|y_V|.\quad (4)$$ Tenga en cuenta también que $\triangle ABV \sim \triangle ACE$, por lo tanto: $$\frac{AB}{AV}=\frac{AC}{AE}. \quad (5)$$ De $(2)$, $(4)$ y $(5)$ obtenemos: $$AE=\frac{|\Delta|}{4a^2}. \quad (6)$$ Recordemos que un inscrito triángulo cuyos principales es el diámetro es en ángulo recto. Por lo tanto, $\triangle FHE$ $\triangle FIE$ están en ángulo recto en $H$ $I$ respectivamente. Tenga en cuenta que$AH=AI$, $AI$ es una altura de $\triangle FIE$. Como $\triangle FIE$ es un ángulo recto del triángulo tenemos: $$AI^2=AF \cdot AE. \quad (7)$$ Recordemos que por la construcción de $AF =1$. Así que nos ponemos de$(6)$$(7)$: $$AI=AH=\frac{\sqrt{|\Delta|}}{2a}. \quad (8)$$ Tenga en cuenta que: $$x_I=x_A+AI \quad(9)$$ y $$x_H=x_A-AH. \quad(10)$$ De $(1)$, $(3)$, $(8)$, $(9)$ y $(10)$, obtenemos: $$x_I=-\frac{b}{2a}+\frac{\sqrt{|\Delta|}}{2a} \quad (11)$$ y $$x_H=-\frac{b}{2a}-\frac{\sqrt{|\Delta|}}{2a} .\quad (12)$$
