Geométrica de la derivación de la ecuación de segundo grado

Question

La ecuación cuadrática puede ser pensado como la especificación de distancias en el plano Euclidiano. Se nos dice que el $x$-intersecciones de una función se producen a una distancia de $\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ de la $x$ coordenadas de max/min de punto. ¿Alguien sabe de un puramente geométrica de la solución de la ecuación cuadrática relativa a este hecho?

Answer 1

Problema:

Deje $V(x_V,y_V)$ el vértice de una parábola cuyo coeficiente inicial es $a$. Encontrar sus raíces a través de la construcción geométrica.

Resolución:

1. Dibujar la línea de $e$ perpendicular a $x$-eje, de tal manera que $V \in e$.
2. Deje $A=e\cap x$-axis, marca los puntos de $B$ $C$ $x$- eje, de tal manera que $AB=|a|$$AC=1$.
3. Marca el punto de $F$$e$, de tal manera que $FA=1$, e $V$ $F$ se encuentran en diferentes semi-planos relativos a $x$-eje.
4. Dibujar una línea de $j$ paralelo a $VB$ a través de $C$.
5. Deje $E=j \cap e$. Marca el punto de $G$$e$, de tal manera que $G$ es el punto medio de la $EF$.
6. Dibujar un círculo $\lambda$ centrada en $G$ y cuyo radio es $GF$.
7. Deje $\{H,I\}=\lambda \cap x$-eje. El abscissas de $H$ $I$ son las raíces de la ecuación cuadrática que tenemos cuando la parábola cruza el $x$-eje.

La siguiente imagen muestra un ejemplo.

Editar/Justificación

Recordar que: $$x_V= -\frac{b}{2a} \quad (1)$$ y $$y_V=-\frac{\Delta}{4a}. \quad (2)$$ Tenga en cuenta que: $$x_A=x_V\quad (3)$$ y $$AV=|y_V|.\quad (4)$$ Tenga en cuenta también que $\triangle ABV \sim \triangle ACE$, por lo tanto: $$\frac{AB}{AV}=\frac{AC}{AE}. \quad (5)$$ De $(2)$, $(4)$ y $(5)$ obtenemos: $$AE=\frac{|\Delta|}{4a^2}. \quad (6)$$ Recordemos que un inscrito triángulo cuyos principales es el diámetro es en ángulo recto. Por lo tanto, $\triangle FHE$ $\triangle FIE$ están en ángulo recto en $H$ $I$ respectivamente. Tenga en cuenta que$AH=AI$, $AI$ es una altura de $\triangle FIE$. Como $\triangle FIE$ es un ángulo recto del triángulo tenemos: $$AI^2=AF \cdot AE. \quad (7)$$ Recordemos que por la construcción de $AF =1$. Así que nos ponemos de$(6)$$(7)$: $$AI=AH=\frac{\sqrt{|\Delta|}}{2a}. \quad (8)$$ Tenga en cuenta que: $$x_I=x_A+AI \quad(9)$$ y $$x_H=x_A-AH. \quad(10)$$ De $(1)$, $(3)$, $(8)$, $(9)$ y $(10)$, obtenemos: $$x_I=-\frac{b}{2a}+\frac{\sqrt{|\Delta|}}{2a} \quad (11)$$ y $$x_H=-\frac{b}{2a}-\frac{\sqrt{|\Delta|}}{2a} .\quad (12)$$