Maximizar $\int_\Gamma\,\langle{y,x}\rangle^2\, dx$

Question

Dado un acotado, compacto, cerrado superficie $\Gamma\subset\mathbb{R}^n$, en el que estoy buscando $$\max_{y\in\mathbb{R}^n, \|s\|=1} \int_\Gamma \langle y, x\rangle^2.$$ Sin la plaza, y con el adjunto volumen $\Omega$, $$\max_{y\in\mathbb{R}^n, \|s\|=1} \int_\Omega \langle y, x\rangle,$$ Estoy adivinando $y_\text{max}$ puntos hacia el centro de gravedad de $\Omega$. No sabe cómo demostrar que a pesar de.

Cualquier sugerencias?

Answer 1

Vamos a hacer la segunda. Vamos $$\begin{align*} f(y_1, \dots, y_n) &= \int_\Omega (y_1x_1 + \dots y_n x_n)\,dV \\ g(y_1, \dots, y_n) &= y_1^2 + y_2^2 + \dots + y_n^2 \end{align*}$$ Queremos que los valores críticos de $f$ sujeto a la restricción de que $g=1$. Por el método de multiplicadores de Lagrange, hay una constante $\lambda$ tal que, para cada una de las $i$ $1$ a $n$, $\frac{\partial f}{\partial y_i} = \lambda \frac{\partial g}{\partial y_i}$. Es decir, $$\int_\Omega x_i \,dV = 2\lambda y_i$$ para cada una de las $i$. Elevando al cuadrado y sumando todos los $n$ de estas ecuaciones, obtenemos $$4\lambda^2 = \sum_{i=1}^n \left(\int_\Omega x_i \dV\right)^2$$

The only way the right-hand side is zero is if $\int_\Omega x_i \,dV = 0$ for each $i$. In that case $f$ is identically zero and any $$y va a hacer. De lo contrario, $\lambda \neq 0$, por lo que$$ y_i = \frac{1}{2\lambda} \int_\Omega x_i \,dV $$Puesto que el $i$th coordenadas del centroide de $\Omega$$ \bar x_i =\frac{1}{\operatorname{Vol}(\Omega)}\int_\Omega x_i \,dV$, estoy de acuerdo en que$y$es un múltiplo de a$\bar x$.

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La primera es más complicado, al menos, para mí. Vamos $$h(y_1,\dots,y_n) = \int_\Gamma (x_1y_1+\dots+x_ny_n)^2\,ds$$ De nuevo, queremos maximizar $h$$g=1$. Tenemos $$2\int_\Gamma (x_1y_1+\dots+x_ny_n)x_i\,ds = 2\lambda y_i \etiqueta{$*$}$$ para cada una de las $i$. Si ponemos $$M_{ij} = \int_\Gamma x_i x_j \,ds$$ a continuación, $(*)$ es equivalente a $$\sum_{j=1}^n M_{ij} y_j = \lambda y_i$$ En otras palabras, $y$ es un autovector de la matriz $M$, correspondiente al autovalor $\lambda$.

La matriz $M$ es simétrica, y creo, positiva definida. Supongo que el último puede ser demostrado por el cuadrado de cada ecuación y la adición de ellos como antes. Así que hay una base ortonormales de vectores propios. Por lo tanto el valor máximo de $f$ es el máximo de los valores propios de a $M$.

No estoy seguro de que si podemos decir más que eso. Esta es una muy interesante problema, pero ya he pasado demasiado tiempo que debería estar haciendo otra cosa! \smiley