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Demuestre que este polinomio en dos variables no tiene soluciones enteras

Considere la ecuación $15x^2 - 7y^2 = 16$ . Demuestre que no tiene soluciones enteras.

Cualquier sugerencia o comentario es bienvenido.

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¿Cómo sabes que esto es algo que puedes contradecir? Quizás hay un §§15x^2 - 7y^2§§ con §§x,y \in \mathbb {Z}§§, que es divisible por 16, pero no el propio 16. Sólo estoy preguntando, probablemente no tengo suficiente conocimiento de fondo aquí.

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@MartinErhardt. Si 4|x y 4|y...............

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mathlove Puntos 57124

Sugerencia : Considerar en mod $m$ para algunos $m\ge 2\in\mathbb N$ a veces funciona. En nuestro caso, $m=3$ .


Añadido : Parece que no estás familiarizado con considerar en mod $m$ .

La ecuación puede escribirse como $$y^2=3(5x^2-2y^2-6)+2$$ Así que, $y^2$ tiene que ser de la forma $3k+2$ donde $k\in\mathbb Z$ . Esto es imposible. (¿Por qué?)

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Hola @mathlove, suponiendo que $x,y \in \mathbb{z}$ y utilizando su ecuación, entonces obtenemos $\frac{y^2}{3} - \frac{2}{3}$ $\in \mathbb{Z}$ , lo cual es una contradicción.

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Muchas gracias @mathlove. Volví a escribir mi trabajo anterior y obtuve los residuos 0, 1 o 0 y 1. ¿Cómo puedo utilizar este enfoque? Es la primera vez que trabajo en aritmética modular. ¿Los residuos sólo sustituyen / juegan el papel de sus respectivos números de base?

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@user58865: Al primer comentario, tienes que demostrar que $\frac{y^2}{3}-\frac 23$ nunca es un número entero. Separándolo en tres casos $y=3m,y=3m+1$ o $y=3m+2$ debería ayudar. Al segundo, ya casi lo tienes. Usted consigue $\text{LHS}\equiv 2$ o $\equiv 0\pmod 3$ .

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Technophile Puntos 101

Considera la ecuación módulo 3: $$15x^2-7y^2=16$$

  • $15x^2$ es siempre divisible por 3,
  • $7y^2$ es 0 o 1 módulo 3 y
  • $16\equiv1\pmod3$ .

Sustituyendo estos residuos en la ecuación, encontramos que es inconsistente en todos los casos: $$0-0\not\equiv1\pmod3$$ $$0-1\not\equiv1\pmod3$$ $$15x^2-7y^2\not\equiv16\pmod3$$ Por lo tanto, la ecuación no tiene solución entera.

4 votos

No parece una pista ...

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@EugenCovaci ¿Por qué no es una pista?

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Hola @ParclyTaxel, ¿cómo es que sólo podemos sustituir los residuos?

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Eddie Puntos 21

Un buen software de aprendizaje para su problema fue escrito por Darío Alejandro Alpern :

ajustar el modo a Paso a Paso.

En primer lugar, debemos determinar el $gcd$ de todos los coeficientes menos el término constante, es decir: $gcd(15, 0, -7, 0, 0) = 1.$

Dividiendo la ecuación por el máximo común divisor obtenemos: $15 x^2 - 7 y^2 - 16 = 0$ .

Intentamos comprobar la ecuación módulo de los divisores primos de $15$ ... aquí termina la pista :) ...

1voto

jnyan Puntos 585

Esto puede ser un poco largo. Asumiendo que x, y son enteros, pueden ser pares o Impares. Pero que uno de ellos sea par y el otro impar no puede ser la solución, ya que la diferencia de impar y números pares no será par.

Así que tienen que ser ambos pares o ambos Impares.

Si x e y son pares entonces la ecuación será 60a-28b =16.

El primer término siempre termina en 0, el segundo término tiene que terminar en 4. Lo que significa que b, que es un cuadrado, debería terminar en 3 u 8, y no hay tales números. Así que x no puede ser par e y no puede ser impar

La última posibilidad es que x, y ambos sean impar.

Si x es impar, entonces el primer término siempre terminará en 5. Y el segundo término tiene que terminar en 9. Lo que significa que el cuadrado de y debe terminar en 7. Como no hay tales cuadrados, x,y ambos no pueden ser impar.

Por tanto, la ecuación no puede tener solución entera.

Sin embargo, es un poco largo.

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