Considere la ecuación $15x^2 - 7y^2 = 16$ . Demuestre que no tiene soluciones enteras.
Cualquier sugerencia o comentario es bienvenido.
Considere la ecuación $15x^2 - 7y^2 = 16$ . Demuestre que no tiene soluciones enteras.
Cualquier sugerencia o comentario es bienvenido.
Sugerencia : Considerar en mod $m$ para algunos $m\ge 2\in\mathbb N$ a veces funciona. En nuestro caso, $m=3$ .
Añadido : Parece que no estás familiarizado con considerar en mod $m$ .
La ecuación puede escribirse como $$y^2=3(5x^2-2y^2-6)+2$$ Así que, $y^2$ tiene que ser de la forma $3k+2$ donde $k\in\mathbb Z$ . Esto es imposible. (¿Por qué?)
Hola @mathlove, suponiendo que $x,y \in \mathbb{z}$ y utilizando su ecuación, entonces obtenemos $\frac{y^2}{3} - \frac{2}{3}$ $\in \mathbb{Z}$ , lo cual es una contradicción.
Muchas gracias @mathlove. Volví a escribir mi trabajo anterior y obtuve los residuos 0, 1 o 0 y 1. ¿Cómo puedo utilizar este enfoque? Es la primera vez que trabajo en aritmética modular. ¿Los residuos sólo sustituyen / juegan el papel de sus respectivos números de base?
@user58865: Al primer comentario, tienes que demostrar que $\frac{y^2}{3}-\frac 23$ nunca es un número entero. Separándolo en tres casos $y=3m,y=3m+1$ o $y=3m+2$ debería ayudar. Al segundo, ya casi lo tienes. Usted consigue $\text{LHS}\equiv 2$ o $\equiv 0\pmod 3$ .
Considera la ecuación módulo 3: $$15x^2-7y^2=16$$
Sustituyendo estos residuos en la ecuación, encontramos que es inconsistente en todos los casos: $$0-0\not\equiv1\pmod3$$ $$0-1\not\equiv1\pmod3$$ $$15x^2-7y^2\not\equiv16\pmod3$$ Por lo tanto, la ecuación no tiene solución entera.
Un buen software de aprendizaje para su problema fue escrito por Darío Alejandro Alpern :
ajustar el modo a Paso a Paso.
En primer lugar, debemos determinar el $gcd$ de todos los coeficientes menos el término constante, es decir: $gcd(15, 0, -7, 0, 0) = 1.$
Dividiendo la ecuación por el máximo común divisor obtenemos: $15 x^2 - 7 y^2 - 16 = 0$ .
Intentamos comprobar la ecuación módulo de los divisores primos de $15$ ... aquí termina la pista :) ...
Esto puede ser un poco largo. Asumiendo que x, y son enteros, pueden ser pares o Impares. Pero que uno de ellos sea par y el otro impar no puede ser la solución, ya que la diferencia de impar y números pares no será par.
Así que tienen que ser ambos pares o ambos Impares.
Si x e y son pares entonces la ecuación será 60a-28b =16.
El primer término siempre termina en 0, el segundo término tiene que terminar en 4. Lo que significa que b, que es un cuadrado, debería terminar en 3 u 8, y no hay tales números. Así que x no puede ser par e y no puede ser impar
La última posibilidad es que x, y ambos sean impar.
Si x es impar, entonces el primer término siempre terminará en 5. Y el segundo término tiene que terminar en 9. Lo que significa que el cuadrado de y debe terminar en 7. Como no hay tales cuadrados, x,y ambos no pueden ser impar.
Por tanto, la ecuación no puede tener solución entera.
Sin embargo, es un poco largo.
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¿Cómo sabes que esto es algo que puedes contradecir? Quizás hay un §§15x^2 - 7y^2§§ con §§x,y \in \mathbb {Z}§§, que es divisible por 16, pero no el propio 16. Sólo estoy preguntando, probablemente no tengo suficiente conocimiento de fondo aquí.
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@MartinErhardt. Si 4|x y 4|y...............