Comportamiento asintótico de Sumas Iteradas

Question

Dada la integral de la identidad $$\begin{align} \int_{0}^{t} \cdots \int_{0}^{t - t_{1} - \dots - t_{n -1}} 1 \ dt_1 \cdots dt_n = \frac{t^{n}}{n!}, \end{align}$$ Yo creo que es cierto que $$\begin{align} \sum_{i_{1} = 0}^{\lfloor t \rfloor} \cdots \sum_{i_{n} = 0}^{\lfloor t - i_1 - \cdots - i_{n-1} \rfloor} 1 = \frac{t^{n}}{n!} + O(t^{n-1}), \end{align}$$ donde $\lfloor \cdot \rfloor$ es la función del suelo. Sin embargo, estoy teniendo dificultad en justificar el exponente $n - 1$. Es realmente el caso? Cualquier ayuda sería sin duda se agradece.

Gracias!

Answer 1

La suma es igual a $\binom{\lfloor t \rfloor + n}{n}$ (a elegir los distintos números de $i_1+1, i_1+i_2+2, \ldots , i_1 + \ldots + i_n + n$$[ 1 , \lfloor t \rfloor + n ]$), por lo que es un polinomio en a $\lfloor t \rfloor$ grado $n$ y el coeficiente inicial $1/n!$, y el comportamiento asintótico de adivinaste es correcta.