Derivada de la suma de los poderes de la leche de fórmula con funciones de generación

Question

Sólo por diversión yo quería tratar de derivar una fórmula para la suma de $p$-poderes mediante la generación de funciones, pero sin utilizar cualquier literatura o de sitios web para ayuda. Sin embargo, yo necesito un pequeño empujón o sugerencia.

Deje $p$ ser algún entero positivo constante.

Definir $f(n) = \sum_{k=0}^{n} k^p = 0^p + 1^p + 2^p + 3^p + \cdots + n^p$

También puedo afirmar que es una recurrencia: $f(n) = f(n-1) + n^p$ donde $f(0) = 0$.

Definir $G(x) = \sum_{n=0}^{\infty} f(n) x^n$

Entonces

$G(x) = f(0)x^0 + \sum_{n=1}^{\infty} f(n) x^n$

$G(x) = 0 + \sum_{n=1}^{\infty} f(n-1) x^n + \sum_{n=1}^{\infty} n^p x^n$

$G(x) = x\sum_{n=1}^{\infty} f(n-1) x^{n-1} + (-0^px^0 + \sum_{n=0}^{\infty} n^p x^n)$

$G(x) = x\sum_{n=0}^{\infty} f(n) x^{n} + \sum_{n=0}^{\infty} n^p x^n$

$G(x) = xG(x) + \sum_{n=0}^{\infty} n^p x^n$

$G(x) - xG(x) = \sum_{n=0}^{\infty} n^p x^n$

$G(x) = \frac{\sum_{n=0}^{\infty} n^p x^n}{1-x}$

Así que ahora es sobre todo la búsqueda de la generación de la función de $H(x,p) = \sum_{n=0}^{\infty} n^p x^n$

Necesito alguna manera de obtener de $H(x,p-1) = \sum_{n=0}^{\infty} n^{p-1} x^n$ $H(x,p) = \sum_{n=0}^{\infty} n^p x^n$debido a que el caso base es $H(x,0) = \sum_{n=0}^{\infty} n^0 x^n = \sum_{n=0}^{\infty} x^n = \frac{1}{1-x}$

En este momento me siento un poco atascado y podría utilizar un empujón en la dirección correcta. Estoy en una solución a este problema o solo estoy girando mis ruedas? ¿Dónde puedo ir desde aquí? Yo conozco a un enfoque habitual es seguir tomando la derivada de ambos lados, pero prefiero evitar ese método (no hay ninguna razón real, sólo quiero ver si se puede hacer sin darse cuenta de que el truco).

¿Cómo puedo relacionar $H(x,p-1)$$H(x,p)$?

Answer 1

Es conveniente usar el operador diferencial $D_x:=\frac{d}{dx}$ y el coeficiente de operador $[x^n]$ para denotar el coeficiente de $x^n$ de una serie de $A(x)=\sum_{k=0}^\infty a_kx^k$.

Sugerencia: Estudiar el operador \begin{align*} [x^n]\frac{1}{1-x}(xD_x)^p \end{align*} aplicado en $\frac{1}{1-x}$.

Una respuesta detallada se puede encontrar aquí.

Answer 2

Esta respuesta no puede seguir la misma línea de razonamiento, pero usted puede ser que desee probar el uso de derivadas e integrales de la generación de la función de $x^n$. Por ejemplo, la derivada de $1+x+x^2...+x^s$$1+2x+3x^2...sx^{s-1}$. En el lado derecho, podemos distinguir las funciones de generación de la serie correspondiente. La derivada de $\frac{1-x^{s+1}}{1-x} = \frac{1-(1+s)x^s + s x^{1+s}}{(1-x)^2}$. A continuación, aplicar la regla de l'Hospital como $lim_{x \to\ 1}$. Que le dará una función de la suma de hasta $s$. Es fácil ver que en el fin de encontrar la suma de $p$ poderes, uno debe multiplicar el resultado por $x$ y diferenciar los hr, $p$ veces.

Además, si queremos encontrar la suma de la inversa de poderes mediante la generación de funciones, debemos integrar la serie geométrica de generación de función y dividir por $x$, $p$ veces. Esto sin embargo no nos dan una "forma cerrada' solución de la fórmula en el caso de la inversa de poderes a menos que usted considere la fórmula para la suma infinita de la armónica de los números, que es $-ln(x-1)$, esto es técnicamente cierto, ya que la serie armónica termina crece como el logaritmo natural de la función. Además, esta fórmula es útil porque si usted trabaja por $x=-1$ usted obtiene la suma infinita de la alternancia armónica de los números - ln(2) - lo cual es correcto, aunque la serie es sólo condicionalmente convergente.

El método es bastante engorroso ya que la diferenciación de las fracciones se vuelve cada vez más complicado y usted tendrá que aplicar la regla de l'hospital $p+1$ veces en la fracción resultante. Para la generación de funciones, (al menos el método que he utilizado) no serían realmente prácticos para llevar a cabo a menos que usted use el software. Un mejor método que se describe aquí...

https://en.wikipedia.org/wiki/Faulhaber%27s_formula

Answer 3

Si se me permite, voy a utilizar la derivada, pero sólo muy brevemente. Considere la posibilidad de: $$\frac {d^p}{dx^p}e^{kx}=k^pe^{kx}$$ Ahora suma más de $k$: $$\sum_{k=0}^n \frac {d^p}{dx^p}e^{kx} =\frac {d^p}{dx^p}\sum_{k=0}^n e^{kx}$$ Usted reconocerá la serie geométrica de la derecha. Esto produce: $$G(x)=\frac {e^{(n+1)x}-1}{e^x-1}$$