Cómo demostrar que $x_1 = x_{2000}$ implica $x_2 \ne x_{1999}$ , donde $x_{n+2}=\frac{x_{n}x_{n+1}+5x^4_{n}}{x_{n}-x_{n+1}}$ ?

Question

Dejemos que $x_{1},x_{2},\cdots$ sean números reales, tales que para $n \ge 1$ : $$x_{n+2}=\dfrac{x_{n}x_{n+1}+5x^4_{n}}{x_{n}-x_{n+1}}$$

Si $x_{1}=x_{2000}$ , demuestre que $x_{2}\neq x_{1999}$ .

mi idea $$x_{n+2}x_{n}-x_{n+2}x_{n+1}=x_{n}x_{n+1}+5x^4_{n}\cdots (1)$$ $$x_{n+3}x_{n+1}-x_{n+3}x_{n+2}=x_{n+1}x_{n+2}+5x^4_{n+1}\cdots (2)$$ (2)-(1) $$x_{n+3}x_{n+1}-x_{n+2}x_{n}=x_{n+3}x_{n+2}-x_{n}x_{n+1}+5(x^4_{n+1}-x^4_{n})$$

Luego, a continuación, no puedo

Answer 1

Primero hay que tener en cuenta que según la definición, $x_n\ne x_{n+1}$ para todos $n\ge 1.$ Resta $x_{n+1}$ de ambos lados de nuestra relación de recurrencia para terminar con $$x_{n+2}-x_{n+1}=\frac{5x_n^4+x_{n+1}^2}{x_n-x_{n+1}}.$$ Así, para cualquier $n\ge 1,$ $(x_{n+2}-x_{n+1})\cdot(x_{n+1}-x_{n})<0.$ Ahora bien, si $x_2>x_1,$ entonces $x_2>x_3$ y $x_4>x_3$ por lo que la iteración de este proceso lleva a $x_2>x_1=x_{2000}>x_{1999}.$ En el otro caso, a saber $x_2<x_1,$ tenemos $x_2<x_3$ y $x_4<x_3$ etc. Por último, $x_{1999}>x_{2000}=x_1>x_2.$ En ambos casos, $x_2\ne x_{1999}.$