ayuda con un estallido

Question

Actualmente estoy aprendiendo los conceptos básicos de las imágenes ampliadas y me encuentro un poco duro. Me gustaría trabajar en el siguiente ejemplo. ¿Podría usted ayudarme?

Deje $k$ ser un campo y $\mathbb{A}^n_k=\operatorname{Spec}(k[x_1, \ldots, x_n])$. Consideremos el subespacio lineal generado por la $r$ primer vectores, esto es, $$ \Lambda=(x_{i+1}=\cdots=x_n=0) \subconjunto \mathbb{A}^n $$ y deje $X=\operatorname{Bl}_\Lambda \mathbb{A}^n_k$ ser la voladura de $\mathbb{A}^n_k$ a lo largo de $\Lambda$.

Pregunta 1: ¿cuáles son las ecuaciones explícitas de $X$?

Pregunta 2: ¿Cuál es el divisor excepcional en estas ecuaciones?

Ahora vamos a $\Lambda'$ $\Lambda''$ ser otros dos subespacios lineales con la propiedad de que $$ \Lambda \cap \Lambda', \quad \Lambda \cap \Lambda" \quad \quad \Lambda' \cap \Lambda" $$ are all reduced to $\{0\}$. Podemos suponer que WLOG

$$ \Lambda'=(x_1=\cdots=x_r=x_{r+s+1}=\cdots=x_n=0) \subconjunto \mathbb{A}^n_k $$

$$ \Lambda'=(x_1=\cdots=x_{i+s}=x_{r+s+t+1}=\cdots=x_n=0) \subconjunto \mathbb{A}^n_k $$

Pregunta 3: ¿cuáles son las ecuaciones de la correcta transforma de $\Lambda'$$\Lambda''$?

Pregunta 4: ¿Qué hace la intersección de estas transformaciones con el divisor excepcional?

Answer 1

Podemos jugar con una versión fácil en primer lugar, que nos ayudará a orientarnos.

Deje $X = \operatorname{Bl}_{\Lambda}\mathbb A^3,$ donde $\mathbb A^3 = \operatorname{Spec}(k[x,y,z])$ $\Lambda = V(y,z)$ $x$- eje (por lo $r=1$). Podemos describir a $X$ por dos gráficos, determinado por los dos ecuaciones de $\Lambda:$ no es un porcentaje ($y$- gráfico $$U_y = \operatorname{Spec}(k[x,y,z,z/y]) = \operatorname{Spec}(k[x,y,z/y])$$ and also a $z$-chart $$U_z = \operatorname{Spec}(k[x,y,z,y/z]) = \operatorname{Spec}(k[x,y/z,z]).$$ Note that each of these charts is isomorphic to $\mathbb a^3.$ Further, I haven't given any equations for $X;$ this construction is intrinsic in that we haven't yet described $X$ integrado cuasi-variedad proyectiva.

Alternativamente, podemos describir $X$ como sigue. Deje $g: \mathbb A^3\setminus\Lambda\to\mathbb P^1$ se define como $g(a) = [y(a):z(a)] = [a_2:a_3]$ $a = (a_1,a_2,a_3).$ El gráfico de $\Gamma(g)$ $g$ es una subvariedad de $(\mathbb A^3\setminus\Lambda)\times\mathbb P^1,$ y definimos $X$ a ser el cierre de este gráfico en $\mathbb A^3\times\mathbb P^1.$ vemos que hay dos cuadros, procedentes de los dos gráficos de $\mathbb P^1.$ $\Lambda$ tenemos $y$ o $z$ cero, sino $x$ es arbitrario, por lo $g$ contrae el $x$-variable y projectivizes el resto de $y,z$-variables. Intuitivamente vemos que la fibra es de dos dimensiones. Ser un poco más cuidadoso, de nuevo vemos los gráficos son en realidad $\mathbb A^3$ anterior.

En esta formulación, no es una ecuación de $X\subseteq\mathbb A^3\times\mathbb P^1$ $uz-vy=0.$ se Puede ver cómo este se sale de la definición de $X = \overline{\Gamma(g)}$?

Ahora podemos ver el divisor excepcional con bastante facilidad. Es decir, $E = V(y,z)\subseteq\mathbb A^3\times\mathbb P^1.$ es decir, si establecemos $y,z=0$, entonces la ecuación se $uz-vy=0$ es ciertamente satisfecho por todos los $u,v$, por lo que tenemos una copia de $\mathbb P^1$ $X$ viven por encima de este punto en $\Lambda.$ $E\cong \mathbb A^1\times\mathbb P^1.$

Para $\Lambda'$ $\Lambda''$ podemos tomar como ejemplo el $y$ - $z$- eje respectivamente. Por lo $\Lambda' = V(x,z)\subseteq\mathbb A^3$ $\Lambda'' = V(x,y)\subseteq\mathbb A^3.$ Nuevo, las ecuaciones son fáciles. Por ejemplo, $\widetilde\Lambda' = V(x,z),$ que tiene un único punto por encima de cualquier punto de la $y$-eje fuera el origen, pero que contiene un $\mathbb P^1$ en la fibra sobre el origen. Un escenario similar se produce por $\widetilde\Lambda'',$, de modo que podemos ver que $\widetilde\Lambda'\cap\widetilde\Lambda''\cong\mathbb P^1.$, De hecho, esta intersección es también contenido en $E$, de modo que esta es la intersección $\widetilde\Lambda'\cap\widetilde\Lambda''\cap E$.

Esperemos que este "maletín" contiene suficiente información para que te vas en el caso general.