Dejemos que $R$ sea un anillo conmutativo y $I$ sea un ideal de $R$ . ¿Es cierto que $I$ es un ideal principal si y sólo si $I$ es un programa gratuito $R$ -¿Módulo?
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Santosh A
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Es cierto que, si $R$ es un anillo conmutativo y $I$ es un ideal de $R$ entonces $I$ es libre si $I$ es principal y generada por un no zerodivisor.
Prueba: Digamos que $I$ es libre. A modo de contradicción, supongamos que $I$ tiene un $R$ -base que contiene más de un elemento. Sea $e_1$ y $e_2$ sean elementos distintos de esta base. Entonces tenemos $e_2e_1-e_1e_2=0$ lo cual es imposible, ya que el $e_i$ son linealmente independientes (aquí es donde utilizamos la conmutatividad). Por lo tanto, $I$ tiene un rango finito, y su rango es $1$ . Diga $I$ se genera sobre $R$ por $e \in R$ ; observe que $e$ debe ser un no-zerodivisor, o bien $\{e\}$ no serían linealmente independientes.
Por el contrario, supongamos que $I$ es un ideal principal generado por un no-zerodivisor $e$ . Entonces el mapa $R \to I$ dado por $r \mapsto re$ es un isomorfismo de $R$ -módulos.
Definitivamente no. Cualquier ideal principal propio en un anillo conmutativo finito es un contraejemplo.
Por otra parte, un anillo conmutativo es un dominio ideal principal si y sólo si todos sus ideales no nulos son módulos libres con rango único. Este es un resultado sobre "anillos ideales libres" (FIR) estudiado por P.M. Cohn.
Como has mencionado, es fácil demostrar que todo ideal principal de un dominio es isomorfo a $R$ . (Una forma es observar que $xR\cong R/ann(x)$ y $ann(x)=0$ si $x$ es distinto de cero).
Supongamos ahora que $J\neq 0$ es un ideal principal libre de un dominio conmutativo. Entonces $J\cong \oplus_{i\in I} R$ para algunas copias de $R$ . En particular, $J$ esto dice (a través del isomorfismo) que $J$ tiene submódulos correspondientes a las copias de $R$ por lo que también son ideales de $R$ .
Supongamos por un momento que más de una copia de $R$ se utiliza. Como la suma es directa, estas copias tienen intersección paritaria cero. Sin embargo, ¡los ideales no nulos de un dominio siempre tienen intersección no nula! Para evitar esta contradicción, la suma sólo puede tener un término, por lo que $J\cong R$ . Siendo isomorfo a un módulo cíclico, $J$ es a su vez cíclico (por lo que es un ideal principal).
