Cómo trabajar con variables aleatorias?

Question

Si $X$ $Y$ son independientes de las variables aleatorias descritas por una distribución normal estándar podría por favor explicar cómo evaluar formalmente las probabilidades de ocurrencias como $X-Y>0$ (intuitivamente es $0.5$ del curso) o $X^2-Y^2>0$?

En última instancia, me gustaría ser capaz de decir cómo de probable es que la parábola $z(t)=X^2+2Yt+t^2$ tiene una raíz positiva semi-eje de $t$.

Answer 1

Si $X$ $Y$ son conjuntamente normal (y no necesariamente independientes), a continuación, $X-Y$ es una normal de la variable aleatoria. Más generalmente, $aX+bY$ es una variable aleatoria normal con media de $a\mu_X+b\mu_Y$ y la varianza $a^2\sigma_X^2+b^2\sigma_Y^2+2ab\rho\sigma_X\sigma_Y$ donde $\rho$ es el coeficiente de correlación. Para su caso especial, $X-Y \sim \mathcal N(0,2)$, $\Phi(\cdot)$ denota el acumulado de función de densidad de probabilidad de la variable aleatoria normal estándar, $$P\{X-Y > 0\} = 1-\Phi\left(\frac{0}{\sqrt{2}}\right) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$$ como se intuía, presumiblemente a través de la simetría argumento de que desde $X$ $Y$ son independientes idénticamente distribuidas variables aleatorias, a continuación,$P\{X<Y\}=P\{X>Y\}$. Pero el planteamiento formal funcionará en los casos más generales. Por ejemplo, más en general, $$P\{aX+bY \leq c\} = \Phi\left(\frac{c-(a\mu_X+b\mu_Y)}{\sqrt{a^2\sigma_X^2+b^2\sigma_Y^2+2ab\rho\sigma_X\sigma_Y}}\right).$$ Búsqueda de $P\{X^2-Y^2 < 0\}$ requiere más procesamiento en el caso general, pero para el caso cuando $X$ $Y$ son independientes idénticamente distribuidas normal de las variables aleatorias, $X^2$ $Y^2$ también son independientes al azar las variables con idénticos (aunque no normal) de distribución, y así $$\{X^2-Y^2 < 0\} = \frac{1}{2}$$ por simetría. Tenga en cuenta que es no es necesario encontrar la distribución de $X^2$ $Y^2$ ni tampoco lo es el de la integración de la articulación de la densidad a través de una región es necesario. Una alternativa cálculo se nota que $\{X^2 - Y^2 < 0\}$ si y sólo si $X+Y$ $X-Y$ tienen signos opuestos, y desde $X+Y$ $X-Y$ de pasar a ser independientes $\mathcal N(0,2)$ variables aleatorias, la probabilidad es $\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times\frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

Con respecto a tu tercera pregunta, la parábola $z = X^2+2Yt+t^2$ ha valor $X^2 \geq 0$$t=0$. Si la pendiente en la $t=0$, $\left.\frac{dz}{dt}\right|_{t=0} = 2Y+2t\bigr|_{t=0} = 2Y $ también es positivo, la parábola no de la cruz el positivo $t$ eje. Por eso, $Y < 0$ es una condición necesaria para la obtención de un cruce positivo de la $t$ eje. También, $z$ tiene un valor mínimo de $X^2-Y^2$$t = -Y$. Por lo tanto, la parábola cruza el positivo $t$ eje (dos veces) exactamente al $\{Y < 0\}$$\{X^2-Y^2 < 0\}$. La probabilidad de es, pues, $\frac{1}{4}$ a través de la simetría circular de la articulación de la densidad de dos independientes $\mathcal N(0,1)$ variables aleatorias.