Realmente es $f(x)=\int g(x) dx$ a una función?

Question

Yo vi a muchos de este tipo de preguntas sobre el texto en cuestión libros. ¿Hay alguna otra explicación de esto, o es realmente malo como yo pensaba?

Aquí es una cuestión de ese tipo:

Si $\displaystyle f(x)=\int x(x^2-a)^2 dx$ $f(a)=7$ $f(-a)=?$

Aquí lo que se $f(0)$ o $f(1)$? $\displaystyle f(0)=\int 0(0^2-a)^2 d0$ o $\displaystyle f(1)=\int 1(1^2-a)^2 d1$ no tiene sentido.

Para mí, un derecho de la función deben ser: $\displaystyle f_c(x)=\int_c^xt(t^2-a)^2dt$
(donde $c$ es una constante, puede ser $0$ como de costumbre).

Answer 1

Usted puede considerar la posibilidad de $$ \int x(x^2-a)^2\,dx $$ como una de las funciones de $f(x)$ tal que $f'(x)=x(x^2-a)^2$, y, sin embargo, no se determina hasta que cierta condición se impone.

Te hacen tener una condición adicional, que es, $f(a)=7$, por lo que la función se determina.

¿Cómo se determina? Usted sabe que, para algunas constantes $c$, $$ f(x)=\frac{x^6}{6}-\frac{ax^4}{2}+\frac{a^2x^2}{2}+c $$ y la condición de $f(a)=7$ lee $$ \frac{a^6}{6}-\frac{a^5}{2}+\frac{a^4}{2}+c=7 $$ determinando $c$.

Sin embargo, esto no es realmente necesario: la función de $f$ satisface la propiedad de que la $f(x)=f(-x)$, así que...

Answer 2

Normalmente se utiliza la notación $\int f(x) \, dx$ para denotar un anti-derivada, o, más rigurosamente, la colección de todas las posibles anti-derivados de la función de $f(x)$ a través de algunas de dominio que se entiende generalmente de forma implícita en el contexto. Por lo tanto, uno puede interpretar la declaración

$$ \int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} + C $$

como la afirmación de que todos los posibles anti-derivados de la función de $x^2$ sobre la línea real son de la forma $\frac{x^3}{3} + C$ algunos $C \in \mathbb{R}$. De esta manera, uno puede interpretar la expresión $f(x) = \int x(x^2 - a)^2 \, dx$ como la declaración de "$f(x)$ es uno de los posibles anti-derivados de la función de $x(x^2 - a)^2$ $\mathbb{R}$ " aunque es cierto que, esta puede ser escrito de una manera mucho menos la manera confusa como "$f'(x) = x(x^2 - a)^2$ todos los $x \in \mathbb{R}$".

El teorema fundamental del cálculo establece que si $f$ es continua en un intervalo $(a,b)$, luego un anti-derivado de la $f$ está dado por $\int_c^x f(t) \, dt$ donde $c \in (a,b)$ es un punto arbitrario, sino la notación $\int f(x) \, dx$ puede ser utilizado sin siquiera saber lo que es una integral definida, sólo saber lo que es un derivado.

Answer 3

$f(x) = \int g(x) dx$ es muy mala notación. El $x$ en el signo integral es una variable ficticia'. $\int g(x)dx$ es sólo un número, no depende de la $x$. La única cosa que podía decir es la función que tiene el valor de la constante $\int g(u)du$. Cuando la gente erróneamente escribe esto por lo general significa $$f(x) = \int_a^x f(t)dt,$$ para algunos $a$.