Escribo porque no sé la utilidad real de funciones analíticas. Quiero decir, sé que analiticidad es algo más respeto diferenciable ($C^\infty$ función), pero no tengo en mente un resultado, lo cual es cierto sólo para verdaderos funciones analíticas, y luego se vuelven falsas para $C^\infty$ funciones que no son analíticas.
Respuestas
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zhw señala una agradable propiedad de funciones analíticas:
Si $f,g$ son analíticas en $(a,b)$ $f(x_n)=g(x_n)$ para una secuencia de distintos puntos de convergencia para algunos $x_0\in(a,b)$, $f(x)=g(x)$ todos los $x\in(a,b)$.
Esto se convierte en false si soltamos la restricción de la analiticidad, como puede verse teniendo en cuenta las funciones $$f(x)=\begin{cases}\exp(-x^{-2})&:x>0\\ 0 &:x\leq0\end{cases}\qquad\text{and}\qquad g(x)=\begin{cases}\exp(-x^{-2})&:x\neq0\\0 &:x=0\end{cases}.$$ It isn't hard to check that $f,g\in C^\infty(\Bbb R)$, and clearly $f(x)=g(x)$ for all $x>0$, but the statement above obviously fails whenever $x<0$; hence, it cannot be applied to $C^\infty$ funciones.
Giovanni
Puntos
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El Cauchy-Kowalevski Teorema, junto con Lewy ejemplo, proporciona algo de comida para el pensamiento.
El CKT es el resultado principal acerca de la existencia de una solución de una analítica de primer orden del sistema de ecuaciones en derivadas parciales. A grandes rasgos, si todos los coeficientes, la fuerza y el límite de referencia son analíticas en algún punto de la PDE admite una solución local que es $C^{\infty}$ y también de la analítica en el punto dado.
Por otro lado, de Lewy el ejemplo muestra que el teorema análogo para las funciones lisas no se sostiene: se considera un sistema de ecuaciones en derivadas parciales con coeficientes polinomiales y fue capaz de demostrar que hay un $C^{\infty}$ de la fuerza para que el sistema no tiene solución de clase $C^2$ sobre cualquier conjunto abierto. (Claramente esto $f$ no puede ser analítico en vista de la CKT)
No hace falta decir que la prueba de la CKT (al menos el que yo conozco) es muy involucrados y se basa en gran medida en el poder de expansión de la serie de las funciones analíticas.
