Hay un bonito ejemplo de una categoría de aditivo $C$ y una familia de morfismos $S\subset Mor(C)$ tal que $C[S^{-1}]$ ya no es aditivo?
Sé que, en general, la localización de las categorías se comporta mal (ver ejemplos aquí), pero no he visto un ejemplo de $C[S^{-1}]$ no siendo incluso aditivo.
También, se sabe que si $S$ satisface Mineral de condiciones, entonces la localización de la $C[S^{-1}]$ será aditiva, y la localización functor $Q\colon C\to C[S^{-1}]$ también se aditivo. Así que uno debe buscar por ejemplo entre aquellos donde la $S$ no está de Mineral.
Muchas gracias por su ayuda!
Respuesta
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Vamos a dejar que $C$ ser la categoría de complejo de espacios vectoriales, y $S$ ser el conjunto que consiste enteramente de la proyección operador $p:\Bbb C \to 0$.
Yo afirmación de que la localización de la $C[S^{-1}]$ es una nueva categoría, donde simplemente hemos impuesto una relación de equivalencia en Hom-conjuntos: $$ Hom_{C[S^{-1}]}(V,W) = Hom_C(V,W) / \{\text{rango 1 mapas} \sim 0\} $$ En primer lugar, desde un compuesto de cualquier rango $\leq 1$ mapa con cualquier otro mapa tiene rango $\leq 1$, lo que hace es definir una categoría $D$.
En primer lugar, el mapa en $S$ se asigna a un isomorfismo en $D$. En esta categoría $D$ la identidad y cero mapa de $\Bbb C \to \Bbb C$ son los mismos, por lo que la proyección de $p$ es un isomorfismo con inverse $0: 0 \to \Bbb C$.
Por otra parte, de cualquier rango $1$ mapa en $C$ tiene una factorización de la $V \stackrel{f}{\to} \Bbb C \stackrel{g}{\to} W$, y en $C[S^{-1}]$ tenemos: $$ gf = gp^{-1} p f = g p^{-1} 0 = g p^{-1} p 0 = g 0 = 0. $$ Esta realidad nos indica que cualquier functor $C \to C'$ envío de $p$ a un isomorfismo en realidad los factores de forma exclusiva a través de $D$. Esta característica universal hace $D$ en una localización de $C$ con respecto al $S$.
Sin embargo, la adición de $C$ no descender a $D$ a todos (cualquier mapa es una suma de rango-1 mapas).
(En este caso, hemos elegido una localización que no interactúan con la estructura aditiva de $C$ a todos, que es la fuente del problema. Realmente no sé si es en el espíritu de la pregunta que usted me hizo.)
