Si $P$ es un alojamiento ideal en una conmutativa Noetherian anillo local $R$ $P\hat{R}$ un alojamiento ideal en $\hat{R}$?

Question

Hacer el primer ideales para ampliar primer ideales en la conclusión?

Creo que este es el caso, ya que creo $R/P\equiv \hat{R}/P\hat{R}$, a pesar de Atiyah-Macdonald se menciona explícitamente a la preservación de los cocientes sólo con respecto a los poderes de la máxima ideal (estoy suponiendo que la terminación con respecto a la máxima ideal aquí).

EDIT: supongo que hay más cosas aquí. Si me tome $S=k[x]$$k$, $(x+1)S$ es el primer en $S$ pero $x+1$ es una unidad de $k[[x]]$. Para la modificación de la pregunta es:

¿Cuándo primer ideales para ampliar primer ideales en la conclusión?

Answer 1

No, esto no es cierto: el primer ideales no se extienden a primer ideales después de su finalización.

Considere la posibilidad de $S=\mathbb C[X,Y]$ y su localización $R=S_M$$M=(X,Y)\subset S$, por lo que el $R=\mathbb C[X,Y]_{(X,Y)}$ es un anillo local con ideal maximal $\mathfrak m=(X,Y)R$.
La finalización de $R$ a lo largo de $\mathfrak m$ es el anillo de poder formal de la serie de $\hat R=\mathbb C[[X,Y]]$.
El director prime ideal $\mathfrak p=(Y^2-X^2-X^3)\subset R$ tiene como extensión de la principal ideal $\hat {\mathfrak p}=\mathfrak p\hat R=(Y^2-X^2-X^3)\hat R$ que no es ya el primer:
De hecho, $Y^2-X^2-X^3=(Y+X\sqrt {1+X})(Y-X\sqrt {1+X})\in \hat {\mathfrak p}\;$ aunque $Y+ X\sqrt {1+X},Y-X\sqrt {1+X}\notin \hat{\mathfrak p}$