¿Cómo puedo probar que $\exp(\frac{h}{1+h})\leq 1+h$?

Question

Me han llegado a través de la desigualdad de $$\exp\left(\frac{h}{1+h}\right)\leq 1+h,\quad\forall h>-1,$$ en http://functions.wolfram.com/ElementaryFunctions/Exp/29/.

Me gustaría un poco de ayuda probando esto. Directa de la expansión de la exponencial no dan nada.

Answer 1

Para todos $y \in \mathbb R$, $e^{-y} \geq 1 - y$. Así,$y = h / (1+h$), tenemos $$ \exp\left(-\frac{h}{1+h}\right) \geq 1 - \frac{h}{1+h} = \frac{1}{1+h} \>, $$ y así, por $h > -1$, $$ 1+h \geq \exp\left(\frac{h}{1+h}\right) \>. $$

Answer 2

Escribir $(1+h)\ln (1+h)$ como la serie de Maclaurin $$(1+h)\ln (1+h)=h+\dfrac{h^2}{2(1+\xi)}, \text{$\xi$ between 0 and $h$}$$ por eso, $(1+h)\ln (1+h)\geq h\Rightarrow \ln (1+h)\geq \dfrac{h}{1+h}\Rightarrow 1+h\geq \exp(\dfrac{h}{1+h})$