¿El grado de homología y cohomology grupos coinciden siempre?

Question

Deje $(C_i)_{i \in \mathbb{Z}}$ ser una cadena compleja de libre abelian grupos. ¿El rango de la homología y la cohomology grupos de $(C_i)_{i \in \mathbb{Z}}$ siempre coinciden, es decir, $$\operatorname{rank}(H_i(C_*))=\operatorname{rank}(H^i(C_*))$$ para cada entero i?

Si cada grupo de homología $H_i(C_*)$ es finitely generado, podemos usar una combinación de la universal de los coeficientes y teorema el teorema fundamental para finitely generado abelian grupos para mostrar este hecho. Pero es también cierto en el caso de que la homología de grupos no son finitely generado?

Answer 1

Aquí es un contraejemplo: vamos a $$C_i = \begin{cases} \bigoplus_{n \in \mathbb{N}} \mathbb{Z} & i = 0 \\ 0 & i \neq 0 \end{casos}$$ con el cero diferencial. Entonces

• $H_0(C)=\bigoplus_{n \in \mathbb{N}} \mathbb{Z}$ ha countably infinito rango;
• $H^0(C) = \prod_{n \in \mathbb{N}} \mathbb{Z}$ tiene un rango de $2^{\aleph_0}$ por un teorema de Nöbeling.

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Es posible incluso cuando el $H_i$ tienen un rango finito de que el cohomology tiene mayor rango. Vamos a: $$C_i = \begin{cases} \bigoplus_{n \in \mathbb{N}} \mathbb{Z} & i = 0,1 \\ 0 & i \neq 0,1 \end{casos}$$ y la diferencia de $d : C_1 \to C_0$ está dada por la multiplicación por $2^n$ $n$th factor (de modo que $d(C_1) = \bigoplus 2^n \mathbb{Z}$).

• $H_0(C) = \bigoplus_{n \in \mathbb{N}} \mathbb{Z}/2^n$, e $H_i(C) = 0$ en otros lugares, por lo que todos los grupos de homología tienen rango de cero (debido a que cada elemento en $H_0$ es de torsión);
• Podemos aplicar el universal coeficiente de teorema, porque cada $C_i$ $d(C_i)$ es proyectiva (y incluso libre de abelian). Por lo tanto $$H^1(C) = \operatorname{Ext}^1_\mathbb{Z}(H_0(C), \mathbb{Z}) = \prod_{n \in \mathbb{N}} \mathbb{Z}/2^n$$ (debido a que $\hom(\mathbb{Z}/2^n, \mathbb{Z}) = 0$ $\operatorname{Ext}$ envía arbitraria directa sumas de dinero en el primer factor para productos). Pero este grupo tiene rango al menos uno (y probablemente incluso infinito), debido a que $x = (1,1,1,\dots)$ tiene orden infinito.