Luego de probar: $\vec{v} = \vec{0}$ si $\langle u,v\rangle = 0$

Question

Si $\vec{v} \in V$ tal que $\langle u,v\rangle = 0$, $\forall \vec{u} \in V$.

Luego de probar: $\vec{v} = \vec{0}$

Me canse de resolver por el supuesto de que se $\langle u,v\rangle \neq 0$ $\rightarrow$ $u,v$ no son ortogonales, y si no son ortogonales, a continuación, $\langle u,v\rangle = 0$ sólo puede ser verdadera si y sólo si $\vec{v} = \vec{0}$.

Es esto correcto? O hay alguna otra alternativa?

Answer 1

El modo más sencillo: recoger $u = v$: luego

$\Vert v \Vert^2 = \langle v, v \rangle = 0, \tag{1}$

lo que implica

$\Vert v \Vert = 0, \tag{2}$

es decir,

$v = 0. \tag{3}$

QED!

Nota Añadida el jueves 16 de abril de 2015 3:23 PM PST: La definición habitual de un producto interior en un espacio vectorial $V$ especifica que $\langle v, v \rangle \ge 0$, $\forall v \in V$ con $\langle v, v \rangle = 0$ fib $v = 0$. Esto permite la definición de $\Vert v \Vert = \langle v, v \rangle^{1/2}$ a proceder, con la consecuencia de que $\Vert v \Vert = 0$ precisamente al $v = 0$. Estas nociones son razonablemente conocido, y asume así que aquí. Ver http://en.m.wikipedia.org/wiki/Inner_product_space. Final de la Nota.

Answer 2

$$ u = v\V \Rightarrow 0 = u \cdot v = v\cdot v = \lVert v \rVert^2 \Rightarrow \lVert v \rVert = 0 \Rightarrow v = 0 $$

1. la propiedad de la tarea

2. definición de producto escalar $a \cdot b = \lVert a \rVert \, \lVert b \rVert \cos \angle(a,b)$

3. la propiedad de las plazas

4. propiedad de vector de norma

Answer 3

Si v es un vector fijo y $\langle u,v\rangle=0$ para todo u $\in V$, luego, en particular, para$u=e_i$$i=1,\ldots,n$.

Sabemos también que a $v=a_1e_1+\ldots+a_ne_n$ A continuación, $\langle e_1,v\rangle=0=a_1\langle e_1,e_1\rangle+\ldots+a_n\langle e_1,e_n\rangle=a1\langle e_1,e_1\rangle$

pero $\langle e_1,e_1\rangle \neq 0$$a_1=0$.

Hacer un análogo de proceso con todas las $e_i$ y usted encontrará que $v=0$.