Demostrando $R\ge 2 r$ uso sintético de la geometría

Question

Si $R$ $r$ ser el radio de la circunferencia circunscrita y de la circunferencia inscrita en un triángulo, entonces, ¿cómo puedo demostrar por sintético de la geometría(es decir, sin trigonometría) que $R\ge 2r$?

Soy consciente de una trigonométricas prueba, pero no estoy muy seguro de si me puede venir para arriba con una sintética. En caso de que alguien esté interesado en el trigonométricas prueba, puedo agregar que si usted me pregunta.

Answer 1

Usted puede probar algo más fuerte:

$$OI^2=R^2-2Rr$$

Deje $ABC$ ser su triángulo, extender $AI$ hasta que se cumpla el Círculo de la $A'$.

Extender $OI$ hasta que se cumpla el círculo de la $D$$E$. Por el poder de punto del círculo,

$$AI \cdot A'I= ID \cdot IE = (R+OI)(R-OI)= R^2-OI^2 \,.$$

Ahora, oberve que $ICA'$ es isósceles, por demostrar que los ángulos son iguales, y obtener un $A'I=A'C$.

Por último, pero no menos importante, la caída de la perpendicular $IC'$ $I$ a $AB$, y el diámetro del $A'A''$$A'$. Por similares triángulo $AIC' \sim A'A''C$, usted tiene

$$AI \cdot A'C =2Rr$$