¿Por qué es la asociatividad requiere para grupos?
Estoy haciendo un álgebra lineal papel y nos estamos centrando en los grupos en el momento, específicamente probar si algo es o no es un grupo. Hay cuatro axiomas:
¿Por qué la operación deben ser asociativa?
Gracias
No es que la asociatividad es requerido para grupos... Que es bastante hacia atrás: la verdad es que los grupos son asociativas.
Tu pregunta parece venir de la idea de que la gente decidió cómo se definen los grupos y, a continuación, comenzó a estudiar y encontrar interesantes. En realidad, sucedió al revés: la gente había estudiado los grupos de manera que antes de que alguien dio una definición. Cuando una definición acordada, la gente miraba a los grupos a los que tenía en la mano y vi que pasó a ser asociativa (y eso que era una pieza de información útil acerca de ellos cuando se trabaja con ellos), por lo que fue incluido en la definición.
Si se me permite decirlo, es esto que es importante entender. La forma de enseñar álgebra abstracta, hoy en dia algo oculta este hecho, pero esto es lo que esencialmente todo lo que viene a ser.
Los grupos son una abstracción. ¿Qué es lo que abstracto? La idea de la simetría. Simetrías son las funciones de un conjunto a sí mismo que preservan la estructura de ese conjunto; por ejemplo, las simetrías de un cuadrado son rotaciones y reflexiones, y preservar la "cuadratura" (vagamente).
La multiplicación en un grupo de resúmenes composición de simetrías (por ejemplo, "gire $90^{\circ}$, luego reflexionar acerca de la línea de $x = y$"), y la composición de funciones es siempre asociativa.
El formalista, la respuesta es: es sólo una definición. Usted puede considerar el estudio de estructuras algebraicas que satisfacen todos los axiomas de un grupo , excepto de la asociatividad, y sería entonces el estudio de los bucles.
Ahora, la pregunta podría ser: ¿por qué es el estudio de los grupos más omnipresente que el estudio de los nudos? Hay razones históricas (seguramente otros con mayor conocimiento puede expandirse en este), y el hecho de que la mayoría de los bucles que surgen naturalmente cuando las matemáticas son en realidad grupos es probablemente una razón demasiado.
En resumen, debido a que la forma en que elegimos para definirlos, ya que la adición de la asociatividad nos permite estudiar ciertas cosas de manera más sólida.
Hay estructuras algebraicas que son un grupo-como, pero que no cumplen todos los axiomas. Un cuasi-grupo no necesita ser asociativo, y un bucle no necesita ser asociativo, sino que debe tener la unidad.
Así, es posible que el sonido es circular, pero un grupo debe ser asociativo, porque si no lo es, entonces no es un grupo. Una más apto pregunta podría ser "¿por qué somos del grupo de estudio de la teoría y no cuasi-teoría de grupo?" En algunos sentidos, la asociatividad nos da más libertad y poder.
La cosa importante a entender es que el cumplimiento de estos 4 axiomas es todo lo que hay para ser un grupo-en matemáticas, podemos construir objetos mediante la imposición de condiciones y el estudio de los agregados. (Yo no uso el término "conjunto" ya que la matemática no siempre tratar con conjuntos,pero usted consigue la idea.) Lo que nos permite construir una teoría en torno a un particular objeto definido es el hecho de que lo que sea que elija las propiedades a ser,las propiedades deben ser coherentes entre sí. Es de las consecuencias de esas propiedades cooexisting constantemente que le da a cualquier objeto es distintivo de las propiedades enunciadas en el cuerpo de theorums y corolarios. Y esa es la respuesta a tu pregunta: resulta Que si no tienes la asociatividad, es decir, si axioma (2) es falsa, entonces el axioma (4) es falsa, porque entonces usted puede tener un conjunto que ha dejado a la recíproca que no está bien inversas y la definición asume la inversa ( de la identidad) es de 2 caras. Considerar un elemento x de un grupo G, donde hay una identidad única e y a la izquierda de la inversa de l y un derecho de la inversa de r para x. Entonces, por el axioma (4),deben ser iguales, puesto que tanto el rendimiento de la identidad única y cada inversa debe ser de 2 caras. Pero:
l = l*e = 1*( x*i) = (1*x)*r = e*r= r.
Pero es evidente que el hecho de l= r depende de la asociatividad de la operación. Así que, cualquiera que sea esta estructura algebraica es,no es un grupo sin ella.
Espero que respondió a su pregunta.
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