En todos los libros de texto de cálculo, después de la parte sucesivos derivados, el $C^k$ clase de funciones se define. La definición dice :
Una función es de clase $C^k$ si es diferenciable $k$ a veces y el $k$-ésima derivada es continua.
No sería más natural para definir a ser la clase de funciones que son diferenciables $k$ veces? ¿Por qué es la continuidad de la $k$th derivada es tan importante como para justificar una definición específica?
Sin duda se puede considerar $k$-tiempos de funciones diferenciables en, digamos, $[a,b]\subset \mathbb R$ y darles una notación, como $D^k[a,b]$.
El punto, sin embargo, es que muchos conocidos y muy interesante, teoremas, válido para $C^k[a,b]$, se producirá un error de $D^k[a,b]$o incluso no tener sentido. Aquí hay tres ejemplos de primaria cálculo:
a) Integración por partes para $u,v\in C^1[a,b]$: $$\int_{a}^{b}u(x)v^{\prime }(x)dx=\left( u({b})v(b)-u(a)v(a)\right) -\int_{a}^{b}u^{\prime }(x)v(x)dx$$ The integrals don't even make sense a priori if $u', v'$ no son continuas.
b) fórmula de Taylor $$f(x)=\sum_{i=0}^k\frac{f^{(i)}(a)}{i!}(x-a)^i+\int_a^x\frac{f^{(k+1)}(t)}{k!}(x-t)^kdt\quad (x\in [a,b])$$ is valid for $f\C^{k+1}([a,b])$ and again doesn't make sense for $f\D^{k+1}([a,b])$
c) El cambio de las variables de la fórmula $$ \int_a^b f(\phi (t))\phi'(t)dt=\int_{\phi(a)}^{\phi(b)} f(x)dx $$ again necessitates that $\phi$ be a $C^1$-función y no meramente un diferenciable.
Bueno, primero de todo, si la derivada de orden $k$-$1$ no es continua, entonces el $k$-ésima derivada no existe.
El último (el $k$-th), tiene un punto: ¿por qué necesitamos que la derivada sea continua. Si dejamos con este requisito, no tenemos una clase más amplia de funciones, tal vez, capaz de representar a una clase más amplia de los fenómenos? En cierto sentido, sí. Pero...
Mientras trabajaba con $C^k$ espacios, a menudo estamos interesados en la pointwise valor de alguna función $f$. Si la 3ª derivado de la $f$ tiene un físico/sociológico/demográficos/lo que sea el significado, entonces sería probablemente no satisfactorio si que derivado saltó en un punto de $x_0$. Me dijo que probablemente, ya que hay fenómenos que involucran cantidades que se les permite cambiar de repente. En física, por ejemplo, la carga eléctrica densidad puede variar de forma discontinua. Esta cantidad, en dimensión uno, resulta ser la derivada de la intensidad de campo eléctrico, que en sí es la derivada del potencial eléctrico. Por lo tanto, para este fenómeno, un potencial que se $C^2$ según la definición estándar de $C^k$ espacios, podría no representar el fenómeno que estoy viendo, ya que daría un continuo de la densidad de carga.
Sin embargo, las funciones que tienen $k$ continuo de los derivados y las ($k$+$1$)-th tiene sólo salto de discontinuidad, de una forma bastante interesante espacio, llamado Hölder espacio con exponente $1$ (escrito $C^{k,1}$). Hölder espacios son bastante complicar las cosas, en mi opinión, pero el caso $k=0$ es bastante fácil: corresponde a Lipschitz continua en funciones, que son una especie de útil en algún concurso. Tal vez estos espacios están más cerca de lo que cabría esperar.
Pero como ya he dicho, en muchas de las aplicaciones que usted está interesado en la pointwise valor de una función, y no se espera que la función para saltar.
Las cosas se vuelven más interesantes cuando no te importa lo que el valor de la función en cualquier punto dado, sino que la atención que algunos de los otros posee propiedad, como por ejemplo
$$\int_a^b |f(x)|^2dx<\infty$$
Pero esto es completamente otra historia...
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