Una serie con una infinidad de logaritmos: $\lim_{n\to\infty} \left(\frac{\ln 2}2+\frac{\ln 3}3+\cdots + \frac{\ln n}n \right)^{\frac1n}$

Question

Tengo que resolver el siguiente límite:

$$\lim_{n\rightarrow\infty} \left(\frac{\ln 2}{2}+\frac{\ln 3}{3}+\cdots + \frac{\ln n}{n} \right)^{\frac{1}{n}}$$

Tengo curiosidad si hay una manera simple de resolver. Creo que he resuelto mediante el uso de algún bastante inusual truco: yo sólo considera la suma de aproximación bajo el radical mediante una integral y consiguió $\approx \frac{\ln^{2}n}{2}$. Entonces yo simplemente aplica Cauchy D'Alembert y tengo 1. Sigue pensando de una manera sencilla.

Answer 1

Para cada uno (lo suficientemente grande) $n$, $$1< \left(\frac{\ln 2}{2}+\frac{\ln 3}{3}+\cdots + \frac{\ln n}{n} \right)^{1/n}<(1+1+\cdots+1)^{1/n}=(n-1)^{1/n}<n^{1/n}.$$

Mediante el uso de (o probar) $\lim\limits_{n\to\infty}n^{1/n}=1$ es fácil acabado. (Por Cauchy--D'Alembert, supongo que te refieres a algo como esto.)

Answer 2

Utilizamos $\log(t+1)\leq t$$t\geq 0$. Tenemos $$a_n:=\frac 1n\log \left(\sum_{k=1}^n\frac{\ln k}k\right)=\frac 1n\log \left(1+\sum_{k=1}^n\frac{\ln k}k-1\right)\leq \frac 1n\left(\sum_{k=1}^n\frac{\ln k}k-1\right).$$ Desde $\frac{\ln n}n\to 0$, el Cesaro significa que convergen a $0$ (uso $\varepsilon$) por lo tanto $\lim_{n\to +\infty}\frac 1n\log \left(\sum_{k=1}^n\frac{\ln k}k\right)=0$ y el límite de$e^{a_n}$$1$.