La desigualdad de $\frac{1}{1-abc} + \frac{1}{1-bcd} + \frac{1}{1-cda} + \frac{1}{1-dab} \le \frac{32}{7}$

Question

Si $a,b,c,d$ son números reales positivos tales que $a^2+b^2+c^2+d^2 = 1$,

Probar que: $$\frac{1}{1-abc} + \frac{1}{1-bcd} + \frac{1}{1-cda} + \frac{1}{1-dab} \le \dfrac{32}{7}$$

Vi a este problema es muy similar al problema que tengo, pero con diferentes condiciones sobre las variables. El problema en el enlace que sugiere un poder de expansión de la serie de la LHS, seguido por el establecimiento de una desigualdad del tipo: $$\sum_{n=0}^{\infty}(bcd)^n+(cda)^n+(dab)^n+(abc)^n$$

y el establecimiento de la desigualdad

$(bcd)^n+(cda)^n+(dab)^n+(abc)^n\ge (K(a^2+b^2+c^2+d^2))^n$

para una constante positiva $K$. También no podía imitar a la solución que se ofrece en el enlace para mi problema. Hay un método general para resolver este tipo de problemas ?

Answer 1

Hacemos uso de la desigualdad: $\displaystyle \sum\limits_{cyc} abc \le \frac{1}{16}\left(\sum\limits_{cyc} a\right)^3$ varios agradable pruebas se dan aquí.

(El cíclico suma es $a,b,c,d$)

Tenemos: $\displaystyle \sum\limits_{cyc} (abc)^2 \le \frac{1}{16}\left(\sum\limits_{cyc} a^2\right)^3 = \frac{1}{16}$

y $\displaystyle \max\{abc,bcd,cda,dab\} < \left(\frac{a^2+b^2+c^2+d^2}{3}\right)^{3/2} = \frac{1}{3\sqrt{3}}$.

Necesitamos una constante positiva $c > 0$, tal que: $\displaystyle \frac{1}{1-x} \le \frac{8}{7} + c\left(x^2 - \frac{1}{64}\right)$

para $x \in \left(0,\frac{1}{3\sqrt{3}}\right)$ al menos.

Ya, $\displaystyle \frac{8}{7} + c\left(x^2 - \frac{1}{64}\right) - \frac{1}{1-x} = \left(x - \frac{1}{8}\right)\left(c\left(x+\frac{1}{8}\right) - \frac{8}{7(1-x)}\right)$

A continuación, $\displaystyle x \le \frac{1}{8} \implies c \le \frac{64}{7(1-x)(1+8x)} = g(x)$ y los mínimos de $g(x)$ se alcanza en el punto en el $x = \frac{7}{16}$ in te intervalo de $(0,1)$ y es monótona decreciente en el intervalo de $\left(0,\frac{7}{16}\right)$. Por lo tanto, podemos considerar a $c = g(1/8) = \dfrac{256}{49}$.

Vemos, entonces, que $\displaystyle \frac{8}{7} + \dfrac{256}{49}\left(x^2 - \frac{1}{64}\right) \ge \frac{1}{1-x}$$x \in \left(0,\frac{3}{4}\right)$.

Por lo tanto, $\displaystyle \sum\limits_{cyc} \frac{1}{1-abc} \le \frac{32}{7} + \dfrac{256}{49}\sum\limits_{cyc}\left((abc)^2 - \frac{1}{64}\right) \le \frac{32}{7}$