Estoy luchando con la idea de los ideales (tanto las definiciones como la notación común). Estoy en un curso básico de álgebra universitaria, sólo busco un poco de ayuda. Lo más sencillo posible en cuanto a definiciones, si es posible. Gracias.
Respuestas
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Sasha Patotski
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Se puede pensar en los ideales como subconjuntos que se comportan de forma similar a cero. Por ejemplo, si se añade $0$ a sí mismo, sigue siendo $0$ o si se multiplica $0$ con cualquier otro elemento, se sigue obteniendo $0$ . Así que los ideales son como "ceros con varios elementos". Es un subconjunto $I$ de un anillo $R$ que es cerrado bajo adición, y también si $a\in I, b\in R$ entonces $ab\in I$ . En particular, un solo elemento $0$ forma un ideal en cualquier anillo $R$ .
Espero que esto ayude un poco.
Jonik
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7937
Un ideal es una generalización de un número que hace que la factorización funcione mejor si se permiten las raíces cuadradas de algunos números.
¿Qué números tiene $n$ ¿dividir?
Cuando se estudia cómo se factorizan los números, podemos tomar un número concreto, $n$ y mira todos los números que divide, $(n) = \{ nk : k \in R \}$ donde $R$ es el universo de números que estamos examinando.
Si has trabajado mucho con problemas de factorización, probablemente conozcas estas dos reglas básicas (1) si $n$ divide $a$ entonces $n$ divide $ab$ también, y (2) si $n$ divide $a$ y $b$ entonces $n$ divide $a+b$ . La primera es cierta, ya que si $a=nk$ entonces $ab= n(kb)$ sigue siendo un múltiplo de $n$ . Lo segundo es cierto, ya que si $a=ni$ y $b=nj$ entonces $a+b=n(i+j)$ por lo que una suma de múltiplos de $n$ sigue siendo un múltiplo de $n$ .
Números ideales
Un número ideal es un conjunto (no vacío) de números que satisface esas dos propiedades, aunque no sepamos qué $n$ es. Podemos fingir que hay un $n$ si queremos, pero después empezamos a pensar en los números ideales como $(n)$ como algo mejor que los simples números como $n$ .
Resulta que podemos multiplicar los números ideales con bastante facilidad, simplemente multiplicamos sus miembros: si $mn$ divide $a$ entonces $a=mnk$ y podemos escribir $a=m(nk)$ como producto, uno de $(m)$ y uno de $(n)$ . Por el contrario, si $a=mi$ y $b=nj$ entonces $ab=(mi)(nj) = (mn)(ij)$ está en $(ij)$ .
Así que definimos $IJ$ para ser el ideal más pequeño que contiene todos los productos $ij$ para $i \in I$ y $j \in J$ .
También podemos encontrar un bonito análogo de GCDs de números usando ideales. Si $d$ divide ambos $m$ y $n$ , entonces también divide $m+n$ y $m-n$ y $m+3n$ y $7m-4n$ y todo tipo de otros múltiplos. En otras palabras, $d$ divide cada elemento de $(m) + (n) = \{ mi + nj : i,j \in R\}$ . En los números enteros obtenemos que $(m)+(n) = (\gcd(m,n))$ , pero para los anillos generales, sólo pensamos en $I+J$ como el análogo del GCD de $I$ y $J$ .
Factorizar con números es raro
Ahora resulta que hay anillos bonitos como $R=\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ donde factorizar números es muy raro, $6=2\cdot 3$ no puede ser factorizado más allá, pero puede ser factorizado de manera diferente, $6=(1+\sqrt{-5})\cdot(1-\sqrt{-5})$ . Un uso de los ideales es afirmar claramente que son diferentes: $(2) \neq (1\pm\sqrt{-5})$ por lo que la forma en que las cosas son múltiplos de 6 no está muy bien descrita por una sola de $6=2\cdot 3$ o $6=(1+\sqrt{-5})\cdot(1-\sqrt{-5})$ .
Factor por cualquier medio necesario
Un segundo uso es más sencillo y más satisfactorio para mí: ¿por qué no podemos seguir factorizando esos dos hasta que consigamos una factorización común? En los primeros años de la escuela primaria no podíamos restar 3 a 2, pero entonces inventamos el -1 (que es como decir... pero todavía hay que restar 1). En la escuela primaria posterior, no podíamos dividir 7 entre 2, pero entonces inventamos $7/2$ (lo cual es totalmente tramposo, ¿qué es 7 dividido por 2? ¡Es 7/2 por supuesto!). Entonces, ¿por qué no inventar una nueva forma de factorizar? Sólo tenemos que encontrar el divisor común de $2$ y $1+\sqrt{-5}$ . No se puede hacer por los números (¡pruébalo! Se obtiene $1$ como respuesta, lo cual es simplemente inútil). ¡Pero para los números ideales es DEMASIADO fácil! El GCD de los números ideales $(2)$ y $(1+\sqrt{-5})$ es sólo $$(2) + (1+\sqrt{-5}) = \{ 2i + (1+\sqrt{-5})j : i,j \in R = \mathbb{Z}[\sqrt{-5}] \}$$
Normalmente lo abreviamos como $(2,1+\sqrt{-5})$ , simplemente dejando fuera el $\gcd$ . Ahora podemos refinar la factorización: $$(6) = (2,1+\sqrt{-5})(2,1-\sqrt{-5})(3,1+\sqrt{-5})(3,1-\sqrt{-5})$$
Resulta que esta es la única forma irrealizable de factorizar el número ideal $6$ en números ideales, ninguno de los cuales es igual al número ideal tonto $(1)=R$ (que es como decir $2=1\cdot 2$ es factorizar el número primo $2$ ).
runeh
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Otro lugar donde se encuentran los ideales de forma natural es en los anillos polinómicos de varios tipos. Trabajar con ideales ayuda a generalizar las ideas sobre la dimensión. Y es fácil dar ejemplos sencillos de ideales generados por más de un elemento.
Así, por ejemplo, si hay tres variables y coeficientes enteros tenemos $\mathbb Z[x,y,z]$ con elementos como $5x^2y^4z-yz^3+xy+29$ .
El ideal generado por $x$ y $y$ consiste en todos los polinomios que se hacen cero al fijar $x=0$ y $y=0$ . Esto es un ideal, porque multiplicar cualquier cosa por cero da cero, y sumar cero a cero da cero. Así que $5x^2y^4z-yz^3+xy+29$ no estaría en el ideal, pero $5x^2y^4z-yz^3+xy$ lo haría.
Intuitivamente, la factorización por este ideal deja los términos constantes y los polinomios en $z$ .
Wade Mealing
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Una caracterización que está implícita en algunas de las otras respuestas, especialmente en la de Sasha, es la siguiente:
Los ideales son exactamente aquellos subconjuntos que pueden surgir como el núcleo de un homomorfismo de anillo.
Que los núcleos son ideales es inmediato (y por lo tanto puede motivar la definición de un ideal), y la construcción del cociente (modding out) produce un epimorfismo cuyo núcleo es un ideal dado.
Tas
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Para la mayoría de las estructuras algebraicas, nos interesan las transformaciones que preservan la estructura y, si la estructura algebraica contiene un elemento neutro (normalmente el cero), nos interesa la preimagen del cero bajo dicha transformación porque es una medida de cuánto de la estructura es "olvidado" por la transformación. Normalmente, esto permite formar también estructuras cotizadas.
Así, para los anillos, la transformación debe conservar la suma, la multiplicación y los elementos neutros. Si ahora comprobamos qué restricción da esto para la preimagen de cero, resulta que encontramos exactamente la definición de un ideal: es estable bajo adición, y es estable bajo multiplicación por cualquier elemento del anillo.
Para los espacios vectoriales, los objetos correspondientes resultan ser también simples espacios vectoriales (el núcleo del homomorfismo lineal). Para los grupos, los objetos correspondientes son subgrupos normales, lo cual es más restrictivo que tomar simplemente subgrupos.
Por lo tanto, se puede ver que los ideales de los anillos adoptan un punto intermedio: No tienen todas las leyes de un anillo (no requieren identidad multiplicativa), pero tienen algunas leyes adicionales (estables bajo la multiplicación por elementos externos).
