En la convergencia en probabilidad o un.s. la convergencia w.r.t que medida es la probabilidad?

Question

Yo estaba presentando pruebas de WLLN y una versión de SLLN (suponiendo delimitada 4 de momento central) cuando alguien le preguntó qué medida es la probabilidad con el respeto y me di cuenta de que, en la reflexión, no estoy muy seguro.

Parece que es sencillo, ya que en ambas leyes tenemos una secuencia de $X_{i}$'s, independiente de RVs con la misma media y varianza finita. Sólo hay una variable aleatoria a la vista, es decir, el $X_{i}$, por lo que la probabilidad debe ser w.r.t la distribución de la $X_{i}$, ¿verdad? Pero luego que no parece muy adecuado para el fuerte de la ley desde la típica la prueba técnica es entonces definir un nuevo RV $S_{n} := \sum_{i=1}^{n} X_{i}$ y trabajar con eso, y el límite está en el interior de la probabilidad:

$ Pr \left[\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} X_{i} = E[X_{i}]\right]=1 $

Así que ahora parece como si la RV es la suma de más de $n$ términos, por lo que la probabilidad es sobre la distribución de las sumas $S_{n}$ donde $n$ ya no es fija. Es eso correcto? Si es así, ¿cómo ir sobre la construcción de una adecuada medida de probabilidad en la secuencia de sumas parciales?

Feliz de recibir intuitiva respuestas a lo que está pasando, así como las de carácter formal, por ejemplo, real o complejo de análisis, de pregrado de probabilidad/estadística, básicos de la teoría de la medida. He leído la Convergencia en probabilidad vs casi seguro de convergencia y enlaces asociados, pero no encontrar la ayuda allí.

Answer 1

La probabilidad de medida es la misma en ambos casos, pero la pregunta de interés es diferente entre los dos. En ambos casos tenemos un (countably) secuencia infinita de variables aleatorias definidas sobre un único espacio de probabilidad $(\Omega,\mathscr{F},P)$. Tomamos $\Omega$, $\mathscr{F}$ y $P$ a ser el infinito de los productos en cada caso (se necesita atención, aquí, que estamos hablando solamente de las medidas de probabilidad, ya que podemos ejecutar en problemas de otra manera).

Para el SLLN, lo que nos importa es la probabilidad (o medida) del conjunto de todas las $\omega = (\omega_{1},\omega_{2},\ldots)$ donde la escala de sumas parciales NO convergen. Este conjunto tiene medida cero (w.r.t. $P$), dice que el SLLN.

Para el WLLN, lo que nos importa es el comportamiento de la secuencia de proyección de $\left(P_{n}\right)_{n=1}^{\infty}$, donde para cada $n$, $P_{n}$ es la proyección de $P$ sobre el finito espacio medible $\Omega_{n} = \prod_{i=1}^{n} \Omega_{i}$. El WLLN dice que el (proyectado) probabilidad de los cilindros (es decir, eventos que involucran a $X_{1},\ldots,X_{n}$), en el que la escala de sumas parciales no convergen, va a cero en el límite de $n$ va al infinito.

En el WLLN estamos calcular las probabilidades que aparecen quitado el infinito espacio del producto, pero en realidad nunca se fue - estaba allí. Todo lo que estábamos haciendo era la proyección sobre el subespacio de 1 a $n$ y, a continuación, tomar el límite después. Que tal cosa es posible, que es posible construir una medida de probabilidad en un infinito espacio del producto, tales que las proyecciones para cada uno de los $n$ coincide con lo que pensamos que deberían ser, y hacer lo que se supone que deben hacer, es una de las consecuencias de Kolmogorov Extensión del Teorema .

Si quieres leer más, he descubierto que la mayoría de la discusión detallada de los puntos sutiles como estas en la "Probabilidad y Teoría de la Medida" por la Ceniza, Doleans-Dade. Hay un par más, pero de las Cenizas/D-D es mi favorito.