Sólo por curiosidad, ¿cómo se puede calcular un número irracional? Tomar $\pi$ por ejemplo. Los equipos han calculado de $\pi$ a la millonésima dígitos y más allá. Lo que la fórmula o método que utilizan para averiguar esto? ¿Cómo se compara a otros números irracionales, tales como $\varphi$ o $e$?
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$\pi$
Para el cómputo de $\pi$, muchos muy convergente métodos son conocidos. Históricamente, los métodos populares incluyen la estimación de $\arctan$ con sus Taylor expansión de la serie y el cálculo de $\pi/4$ el uso de un Machin-como fórmula. Una básica sería
$$\frac{\pi}{4} = 4 \arctan\frac{1}{5} - \arctan\frac{1}{239}$$
La razón de estas fórmulas se utilizan a través de la estimación de $\arctan 1 =\frac{\pi}{4}$ es porque la serie por $\arctan x$ es mover convergente para $x \approx0$. Por lo tanto, los pequeños valores de $x$ es mejor para la estimación de $\pi/4$, incluso si es necesario para calcular $\arctan$ veces más. Un buen ejemplo de esto es Hwang Chien-Lih la fórmula:
$$ \begin{align} \frac{\pi}{4} =& 183\arctan\frac{1}{239} + 32\arctan\frac{1}{1023} - 68\arctan\frac{1}{5832} + 12\arctan\frac{1}{113021}\\ & - 100\arctan\frac{1}{6826318} - 12\arctan\frac{1}{33366019650} + 12\arctan\frac{1}{43599522992503626068}\\ \end{align} $$ A pesar de que $\arctan$ debe calcularse 7 veces a una precisión deseada, la informática, esta fórmula es interesante que requiere menos esfuerzo computacional luego de computación $\arctan 1$ a la misma exactitud.
Los algoritmos iterativos, como Borwein del algoritmo o de Gauss–Legendre algoritmo puede converger a $\pi$ extremadamente rápido (Gauss–Legendre algoritmo de encontrar 45 millones de corregir dígitos en 25 iteraciones), pero requiere de mucho esfuerzo computacional. Debido a esto, la convergencia lineal de Ramanujan del algoritmo o el algoritmo de Chudnovsky es a menudo preferido (estos métodos se ha mencionado en otros posts aquí también). Estos métodos producen 6-8 dígitos y 14 dígitos respectivamente plazo, agregó. Es interesante mencionar que el Bailey–Borwein–Plouffe fórmula se puede calcular el $n^{th}$ dígito binario de $\pi$ sin necesidad de conocer el $n-1^{th}$ dígitos (estos algoritmos son conocidos como "la llave de algoritmos"). Bellard la fórmula es similar, pero un 43% más rápido.
Los primeros términos de la Chudnovsky algoritmo son: (nota: la precisión aumenta en aproximadamente un 14 decimales):
n Approx. sum Approx. error (pi-sum)
0 3.141592653 5.90 x 10^-14
1 3.141592653 -3.07 x 10^-28
2 3.141592653 1.72 x 10^-42
3 3.141592653 1.00 x 10^-56
Ver a estas dos preguntas así.
$e$
El método más popular para el cómputo de $e$ es su Taylor expansión de la serie, porque requiere un poco de esfuerzo computacional y converge muy rápidamente (y sigue speed up). $$e=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}$$ La primera sumas creado en esta serie son como sigue:
n Approx. sum Approx. error (e-sum)
0 1 1.718281828.
1 2 0.718281828
2 2.5 0.218281828
3 2.666666666 0.051615161
...
10 2.718281801 2.73 x 10^-8
...
20 2.718281828 2.05 x 10^-20
También hay que destacar que la definición de límite de $e$ y la serie puede ser usado en conjunción. La canónica límite de $e$ es
$$e=\lim_{n \to \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$$
Señalar que este es el primero de los dos términos de la expansión en series de Taylor para $\exp(\frac{1}{n})$ a el exponente de $$ n $n$ grande, es claro que $\exp(\frac{1}{n})$ puede ser calculada para una mayor precisión en menos condiciones, $e^1$ en la serie, porque en los dos términos de dar una mejor estimación como $n \to \infty$. Esto significa que si queremos añadir otro par de términos de la expansión de $\exp(\frac{1}{n})$, podemos encontrar el $n^{th}$ root de $e$ a de alta precisión (mayor que el límite y el de la serie) y luego se multiplica la respuesta $n$ veces con la misma (fácil, si $n$ es un número entero).
Como una fórmula, tenemos, si $m$ y $un$ son grandes:
$$e \approx \left(\sum_{n=0}^m \frac{1}{n!a^n}\right)^$$
Si utilizamos la serie a encontrar $100^{th}$ de la raíz (es decir, utilizando la fórmula anterior, $a=de$ 100 a) de $e$, esto es lo que a resultados (nota de la rápida tasa de convergencia):
n Approx. sum Approx. sum^100 Approx. error (e-sum)
0 1 1 1.718281828.
1 1.01 2.704813829 0.013467999
2 1.01005 2.718236862 0.000044965
3 1.010050166 2.718281716 1.12 x 10^-7
...
10 1.010050167 2.7182818284 6.74 x 10^-28
...
20 1.010050167 2.7182818284 4.08 x 10^-51
$\varphi$
La proporción áurea es $$\varphi=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$ así que una vez que $\sqrt{5}$ se calcula con suficiente precisión, por lo tanto se puede decir que $\varphi$. Para la estimación de $\sqrt{5}$, muchos métodos que pueden ser usados, quizás la mayoría, simplemente, a través del método Babilónico. Newton raíz del hallazgo de método también puede ser usado para encontrar $\varphi$ porque él y su recíproco, $\Phi$, son las raíces de $$0=x^2-x-1$$
Si $\xi$ es una raíz de $f(x)$, Newtons método se encuentra $\xi$:
$$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$$ $$\xi=\lim_{n \to \infty}x_n$$
Por lo tanto la asignación de $f(x)=x^2-x-1$ y $f'(x)=2x-1$. Entonces $$x_{n+1}=x_n-\frac{x_n^2-x_n-1}{2x_n-1}=\frac{x_n^2+1}{2x_n-1}$$
Si $x_0=1$, el primer número de iteraciones rendimiento:
n value of x_n Approx. error (phi-x_n)
1 2 -0.381966011
2 1.666666666 -0.048632677
3 1.619047619 -0.001013630
4 1.618034447 -4.59 x 10^-7
...
7 1.618033988 -7.05 x 10^-54
El cuadrática de convergencia de este método es muy claro en este ejemplo.
$\gamma$
Por desgracia, no cuadráticamente convergente métodos son conocidos para calcular $\gamma$.
Como se mencionó anteriormente, algunos métodos que se discuten aquí: ¿Cuál es la forma más rápida/más algoritmo eficiente para la estimación de la Constante de Euler $\gamma$?
El algoritmo a partir de aquí es
$$ \gamma= 1-\log k \sum_{i=1}^{12k+1} \frac{ (-1)^{i-1} k^{i+1}}{(r-1)!(r+1)} + \sum_{i=1}^{12k+1} \frac{ (-1)^{i-1} k^{i+1} }{(r-1)! (r+1)^2}+\mbox{O}(2^{-k}) $$
y este método ofrece la siguiente aproximación:
k Approx. sum Approx. error (gamma-sum)
1 0.7965995992978246 0.21938393439629178
5 0.5892082678451087 0.011992602943575847
10 0.5773243590712589 1.086941697260313 x 10^-4
15 0.5772165124955206 8.47593987773898 x 10^-7
Esta respuesta tiene incluso una convergencia más rápida.
Algunos otros métodos también se revisan aquí: http://www.ams.org/journals/mcom/1980-34-149/S0025-5718-1980-0551307-4/S0025-5718-1980-0551307-4.pdf
$\zeta(3)$
Un método para la estimación de $\zeta(3)$ es la Amdeberhan-Zeilberger fórmula ($O(n \log n^3)$):
$$\zeta(3)=\frac{1}{64}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k(205k^2+250k+77)(k!)^{10}}{((2k+1)!)^5}$$
$G$ (catalán constante)
Cargo, en su artículo, se presenta un método para el cómputo del catalán constante basado en una fórmula de Ramanujan:
$$G=\sum_{k=0}^\infty \frac{2^{k-1}}{(2k+1)\binom{2k}{k}}\sum_{j=0}^k \frac1{2j+1}$$
Otro de rápida convergencia de la serie de Ramanujan también se ha utilizado para el cómputo del catalán constante:
$$G=\frac{\pi}{8}\log(2+\sqrt 3)+\frac38\sum_{n=0}^\infty \frac{(n!)^2}{(2n)!(2n+1)^2}$$
$\log 2$
El de la serie de Taylor para $\log$ ha decepcionantemente baja de convergencia y para que los métodos alternativos son necesarios para calcular de manera eficiente $\log 2$. Las formas más comunes para calcular $\log 2$ include "Machin-como fórmulas" el uso de la $\operatorname{arcoth}$ de la función, similar a los usados para calcular $\pi$ con $\arctan función de$ mencionados anteriormente:
$$\log 2=144\operatorname {arcoth}(251)+54\operatorname {arcoth}(449)-38\operatorname {arcoth}(4801)+62\operatorname {arcoth}(8749)$$
$A$ (Glaisher-Kinkelin constante)
Un método habitual para el cálculo de la Glaisher-Kinkelin constante descansa en la identidad
$$A=\exp\left(\frac1{12}(\gamma+\log(2\pi))-\frac{\zeta'(2)}{2\pi ^2}\right)$$
donde $\zeta'(s)$ es la derivada de la de Riemann zeta función. Ahora,
$$\zeta'(2)=2\sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^k \log(2k)}{k^2}$$
y cualquier número de convergencia de aceleración métodos pueden ser aplicados a la suma de esta alterna de la serie. Dos de las opciones más populares son el de Euler de la transformación, y la CRVZ algoritmo.
Otro interesante sitio web que tiene muchos rápidos algoritmos para el común de los constantes es aquí.
user8269
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46
Diferentes irrationals el rendimiento de las diferentes técnicas. $\phi=(1+\sqrt5)/2$ sólo implica el cálculo de la $\sqrt5$, lo cual puede hacerse fácilmente por el método de Newton de la introductorios de cálculo. La serie infinita $$e=1+1+1/2+1/6+1/24+\cdots$$ donde los denominadores son los factoriales, se puede utilizar para calcular $e$. Para pi, este artículo de Gauss-Legendre algoritmo le dará algunas ideas.
vonconrad
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363
Gerry Myerson la respuesta anterior es correcto afirmar que los diferentes números irracionales conducir a diferentes técnicas. En esencia, sin embargo, todas estas técnicas se reducen a una sola idea: la de Encontrar algún tipo de método (fórmula, serie infinita, algoritmo, etc.) cuando se utiliza, dará lugar a una expansión decimal que convergen al valor de lo irracional (o racional, para esa materia!). Naturalmente, ciertas técnicas son más útiles en ciertas circunstancias (por ejemplo, en la informática, técnicas que convergen muy rápidamente, pero también en el resultado como pocos procesador de instrucciones como sea posible, se prefiere).
Como un aparte, mi favorito personal de la fórmula para $\pi$ fue dado por Ramanujan:
$$ \frac{1}{\pi} = \frac{\sqrt{8}}{9801} \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(4n)!}{(n!)^4}\frac{1103+26390n}{396^{4n}} $$
Esta fórmula converge muy rápidamente. El MathWorld el artículo observa que ofrece, en promedio, de 6 a 8 decimales por cada término.
Dan Walker
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3466
Un ejemplo de lo que no se ha dado.
$\zeta(3)=1.20205690315959428539973816151144$
$\qquad\qquad 999076498629234049...$ (aquí)
El número $de$\zeta (3)=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3} \etiqueta{1}$$ se llama Apéry constante, debido a su irracionalidad se demostró por primera vez por Roger Apéry. El siguiente de la serie, que converge a $\zeta (3)$ más rápido que $(1)$, puede ser usada para calcular que
$$\zeta (3)=\frac{5}{2}\sum_{n=1}^{\infty }\frac{\left( -1\right) ^{n-1}}{n^{3}\binom{2n}{n}}.\la etiqueta{2}$$
Para el mismo propósito se puede utilizar la continuación de la fracción de expansión para $\zeta (3)$, que es
$$\zeta \left( 3\right) =\dfrac{6}{5-\dfrac{1}{117-\dfrac{64}{535-...-\dfrac{n^{6}}{34n^{3}+51n^{2}+27n+5}}}}.\la etiqueta{3}$$
Otra posibilidad es utilizar el siguiente límite $$\begin{ecuación*} \zeta (3)=\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{a_{n}}{b_{n}}, \end{ecuación*}\etiqueta{4}$$ donde
$$\begin{ecuación*} a_{n}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}^{2}\binom{n+k}{k}^{2}c_{n,k}, \end{ecuación*}\etiqueta{5}$$
$$\begin{ecuación*} b_{n}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}^{2}\binom{n+k}{k}^{2}, \end{ecuación*}\etiqueta{6}$$
y
$$\begin{ecuación*} c_{n,k}=\sum_{m=1}^{n}\frac{1}{m^{3}}+\sum_{m=1}^{k}\frac{\left( -1\right) ^{m-1}}{2m^{3}\binom{n}{m}\binom{n+m}{m}}\quad k\leq n. \end{ecuación*}\etiqueta{7}$$
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Referencias
Apéry, Roger (1979), Irrationalité de $\zeta 2$ et $\zeta 3$, Astérisque 61: 11-13
Alfred van der Poorten (1979), Una prueba de que Euler perder..., El Matemático Intelligencer 1 (4): 195-203
dtldarek
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23441
Por $\pi$ no es una buena fórmula dada por Juan Machin: $$ \frac{\pi}{4} = 4\arctan\frac{1}{5} - \arctan\frac{1}{239}\,. $$
El poder de la serie para $\arctan \alpha$ está dada por $$\arctan\alpha = \frac{\alpha}{1} - \frac{\alpha^3}{3}+\frac{\alpha^5}{5} - \frac{\alpha^7}{7} + \ldots\,. $$
También se puede utilizar (generalizada) fracciones continuas:
$$ \pi = \dfrac{4}{1+\cfrac{1^2}{3+\cfrac{2^2}{5+\cfrac{3^2}{7+\cdots}}}} $$
Hay muchos otros métodos para calcular $\pi$, incluyendo algoritmos capaces de encontrar cualquier cantidad de $\pi$'s de expansión hexadecimal independientemente de las demás. Como recuerdo, la wikipedia tiene un montón de métodos para calcular $\pi$. Por otra parte, como $\pi$ es un número intrínseca de las matemáticas, se muestra en muchos lugares inesperados, por ejemplo, en un juego de cartas llamado Mafia, para más detalles consulte este documento.
Como para $e$, hay también el poder de las series y fracciones continuas, pero existe más sofisticados algoritmos que calculan $e$ mucho más rápido. Y por $\phi$, no es simple recurrencia de relación basado en el método de Newton, por ejemplo, $\phi_{n+1} = \frac{\phi_n^2+1}{2\phi_n-1}$. Vale la pena mencionar que la continuación de la fracción por el cociente de oro contiene únicos, es decir, $[1;1,1,1,\ldots]$ y las sucesivas aproximaciones son cocientes de números de Fibonacci consecutivos de $\frac{F_{n+1}}{F_n}$.
Para concluir, la mayoría de los ejemplos de métodos aquí fue en una de las formas: la informática mejores ratios (pero cada fracción se calcula exactamente) o trabajar con aproximaciones todo el tiempo, pero crear un proceso que finalmente convergen en el número deseado. De hecho, esta distinción no está clara, pero los métodos que se utilizan en los enfoques son generalmente diferentes. Herramientas útiles: el poder de la serie, fracciones continuas, y a raíz de encontrar.
