Dado un decimal como $1.5$, quiero encontrar una manera fácil de escribir como $3/2$ en este caso es fácil pero con un decimal como$0.3760683761$, ¿cómo podría averiguar que puede ser escrito como $572/1521$? Thx.
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En caso de que alguien esté interesado en más información sobre esto, he encontrado los siguientes enlaces (más podría existir, pero lo que tengo es suficiente - Thx a sus contribuciones):
He aquí una diferente manera de proceder, utilizando como poco como sea posible de la teoría de fracciones continuas. Primero escribo $$\frac01 < 0.3760683761 < \frac11$$ así que enseguida tenemos un par de fracciones que se aproximan a 0.3760683761. No son muy buenas aproximaciones, aunque!
Ahora bien, si tenemos $\frac ab$ a la izquierda y $\frac cd$ a la derecha, hay que comprobar el $\frac{a+c}{b+d}$ ver donde se encuentra. En este caso,$\frac ab = \frac01$$\frac cd = \frac 11$$\frac{a+c}{b+d} = \frac{0+1}{1+1} = \frac12 = 0.5$:
$$\frac01 < 0.3760683761 < \frac12< \frac 11$$
así que olvídate de $\frac11$, que es demasiado grande. Ahora repita: a continuación se $\frac{0+1}{1+2} = \frac13$, que es demasiado pequeño:
$$\frac01< \frac13 < 0.3760683761 < \frac12$$
El siguiente es $\frac{1+1}{2+3} = \frac25$, que es demasiado grande:
$$\frac13 < 0.3760683761 < \frac25 < \frac12$$
El siguiente es $\frac{1+2}{3+5} = \frac38 = 0.375$, que es una excelente aproximación:
$$\frac13 < \frac38 < 0.3760683761 < \frac25 $$
Por desgracia para este ejemplo, no hay mejor aproximación de $\frac38$ hasta llegar a $\frac{44}{117}$. generalmente, la convergencia es más rápida, pero esto pasa a ser un inusualmente se comportan mal ejemplo, y así lleva varios pasos más:
$$\frac13 < \frac38 < \frac{44}{117} < 0.3760683761< \frac{41}{109} < \cdots < \frac{17}{45} < \frac{14}{37} < \frac{11}{29} < \frac8{21} < \frac 5{13} < \frac25 < \frac12$$
Pero encuentra la $\frac{44}{117} \approx .37606837606837606837$, que está muy cerca, y tal vez es lo que estabas buscando. Por otro lado quizás $\frac 38$ estaba lo suficientemente cerca y se podía parar allí.
Si desea $0.3760683761$ exactamente, usted puede continuar con el proceso, el cual finalmente terminar con exactamente $\frac{3760683761}{10000000000}$.
Una agradable característica de este algoritmo es que siempre produce fracciones en su mínima expresión, así que usted nunca tiene que preocuparse acerca de la reducción de ellos después.
La teoría de fracciones continuas proporciona una forma para realizar este cálculo mucho más rápidamente, produciendo la continuación de la fraccionaria del resultado $$0.3760683761 \approx \cfrac1{2+\cfrac 1{1+\cfrac1{1+\cfrac1{1+\cfrac1{14}}}}}$$
Primera nota de que $.\overline{376068}\cdot (1000000-1)=376068$. De ello se sigue que $$.\overline{376068}=\frac{376068}{999999}=\frac{572}{1521}.$$ Editar con más detalles.
En tu ejemplo tienes una repetición decimal $.\overline{376068}=.376068376068376068...$
Deje $x=.\overline{376068}$. Si multiplicamos por $1000000$ tenemos $$1000000x=376068.376068376068...$$ If we now subtract $x$ we have $$1000000x-x=376068.\overline{376068} -0.\overline{376068}=376068.$$ De ello se desprende que $(1000000-1)x=376068$$x=\frac{376068}{999999}$. La reducción de esta fracción se le da el resultado que usted está buscando.
En general, si usted tiene un decimal finito puede multiplicar y dividir por una potencia apropiada de diez (es decir,$1.5=1.5\cdot\frac{10}{10}=\frac{15}{10}=\frac{3}{2}$). En el caso de la repetición de una decimal, se puede generalizar la técnica que he utilizado anteriormente. Tenga en cuenta que he utilizado $10^6=1000000$ en la solución como la parte que se repite de la coma decimal es de seis dígitos. Si usted no tiene una terminación que no se repiten decimal, entonces usted no puede escribir como una fracción.
Espero que ayude!
Tenga en cuenta que cualquier terminación de la forma decimal puede ser escrito por multiplicar el número por una potencia de $10$ hasta obtener un número entero, y luego dividir por una potencia de $10$ hasta obtener el número original.
En ese sentido, $1.5=\frac{15}{10}$ y el problema se convierte en la factorización de esos dos números. En este caso nos encontramos con $\frac{3\cdot5}{2\cdot5}$, lo que simplifica el resultado.
Así, por ejemplo, el problema en realidad es sólo encontrar la factorización prima de $3760683761$ y, dado que el denominador será poderes de $10=2\cdot5$, puede cancelar todos los poderes de $2$ $5$ que se puede, y el resultado es más irreductible.
La dificultad con esta pregunta, y es que ha surgido en los comentarios a las respuestas son varias, pero aún no ha sido abordado explícitamente por ninguna de las respuestas, es que parece que el número que usted está realmente interesado en no es el número que usted piensa que usted está interesado en.
Aquí es un (totalmente hipotético, inventadas) escenario que sospecho que no está demasiado lejos de la marca de lo que está pasando aquí. Que están tratando de resolver algún tipo de problema; tal vez se trata de "encontrar los ceros de tal-y-tal polinomio". El uso de una calculadora gráfica o algún otro tipo de sistema de álgebra computacional, se gráfica del polinomio y, a continuación, utilizar la tecnología integrada de herramientas numéricas para encontrar la ubicación del cero. La calculadora dice que la respuesta es $0.3760683761$. Pero la solución correcta, de acuerdo con el libro de texto, es $572/1521$. De confirmar, al entrar en la calculadora, que los resultados son iguales, y quieren saber cómo podría haber encontrado la fracción de sí mismo.
Pero aquí está la cosa: los resultados son no iguales. $572/1521$ no $0.3760683761$. Es sólo aproximadamente . Como Eric señaló en su respuesta, $572/1521$ es en realidad igual a $0.376068~376068~376068 \dots$, con una repetición de un bloque de seis dígitos. Si la vuelta a este para que quepa en un visor de la calculadora, el resultado se parecerá a $0.3760683761$. Pero eso es engañoso: Que el truncamiento no se puede convertir en la forma $572/1521$, porque no es igual a $572/1521$.
Así que la pregunta real debe tener tres partes:
- Si yo veo a un resultado decimal que aparece para terminar, ¿cómo puedo saber si es realmente sólo una forma truncada de la repetición de una decimal con un largo bloque de repetición de dígitos?
- Si el "verdadero" valor decimal es en realidad la repetición, ¿cómo se puede convertir a una fracción?
- Si el "verdadero" valor decimal es en realidad de terminar, ¿cómo se puede convertir a una fracción?
Para la segunda parte de la pregunta, a ver a Eric la respuesta sobre cómo expresar la repetición de una decimal como una fracción.
Para la tercera parte de la cuestión, véase Elliot G la respuesta sobre cómo expresar una terminación decimal como una fracción.
El problema real es la primera parte. ¿Cómo saber si el decimal que ver es en realidad el decimal que usted desea? La respuesta, lamentablemente, es que si se basa en alguna forma de tecnología para producir su solución, no hay manera de saber. Las calculadoras son fundamentalmente finitary dispositivos que funcionan con aproximaciones numéricas. Una calculadora que no puede entender el valor real de $1/3$, se puede entender a $0.333333333$ a un número finito de lugares. Y si usted ve $0.333333333$ en la pantalla de la calculadora, usted no puede realmente saber si se supone que esto es $1/3$ o $333333333/1000000000$, o si tal vez hay algunas otras completamente diferentes dígitos escondido fuera de la pantalla, enterrado profundamente en la expansión decimal.
Más precisamente, no hay manera de determinar a partir de un número finito de cadena de dígitos si usted está buscando en una parte de un decimal finito, una parte de la repetición de una decimal, o una parte de un número irracional. Simplemente no hay manera. Esto lleva a algunos (muy absurdo) ideas erróneas, como por ejemplo en esta página de un libro para niños que alegremente afirma que $18/23$ es un número irracional debido a su expansión decimal se va "y" sin aparente motivo.
La moraleja de la historia es, si se espera que usted (en un cierto contexto de la clase, que supongo que es el caso aquí) para resolver un problema determinado y obtener una respuesta como $572/1521$, las probabilidades son buenas que se supone que para resolverlo utilizando algún método que conduce directamente a la solución, en lugar de obtener un aproximado del valor numérico con parte de la tecnología y, a continuación, intente realizar ingeniería inversa a partir de ella el valor correcto.
Suponiendo que no se trate con la no terminación de decimales (números donde la parte decimal no termina nunca, como $0.5555555...$), siempre se puede poner una terminación en forma de número decimal en forma de fracción estableciendo el denominador como 10^(número de dígitos en la parte decimal), luego ajuste el numerador como el decimal se multiplica por el denominador.
Por ejemplo, $1.55$ $2$ dígitos en su parte decimal ($55$), por lo que la fracción tiene denominador $10^2 = 100$, y el numerador $1.55 \cdot (denominator) = 155$. Por lo tanto, su fracción es $155/100$.
El problema con "reducir" su respuesta es que usted tiene que encontrar los factores para el numerador y el denominador. Una vez que sepa cuáles son sus factores son, a continuación, el resto del proceso es bastante auto-explicativo. Por desgracia, la búsqueda de factores no es una tarea sencilla. Hay no conoce las funciones que puede resolver los casos generales "fácilmente": https://en.wikipedia.org/wiki/Integer_factorization
Sin embargo, hay trucos que pueden facilitar la tarea de fuerza bruta a tu manera a través de la búsqueda de factores: http://www.mathsisfun.com/divisibility-rules.html También, usted nunca tendrá que comprobar si los factores pasado la raíz cuadrada de un número entero (por ejemplo, si he comprobado que todos los números hasta el 12 no se dividen 127, luego 127 debe ser un primo). La práctica de estas técnicas, y eventualmente aumento de la intuición, de modo que usted no tiene que "pensar" sobre el proceso de convertir un decimal a una fracción.
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