Definición de un álgebra de von Neumann

Question

Hay una manera de dotar a todos los C*-álgebra con un functorial topología tal que la canónica mapa A→A** es un isomorfismo si y sólo si a es Un álgebra de von Neumann? Aquí Un** indica que el dual de Un* en algunos otros functorial topología.

Por supuesto, si restringimos nuestra atención a álgebras de von Neumann desde el principio, a continuación, el σ-topología débil en Una y la norma de la topología en Un* responder a la pregunta.

Answer 1

Esta no es una respuesta, pero podría conducir a uno. Takesaki, III, Thm 3.16 muestra que una C*-álgebra a es Una W*-álgebra (es decir, no-espacial de la versión de un álgebra de von Neumann) si y sólo si a es monotono cerrado y no admite suficientemente muchas normal lineal positiva funcionales.

Monotono cerrado == delimitado el aumento neto de la auto-adjoints tiene un supremum.

Normal == Positivo funcional en el que se respeta el supremum. Supongo que podemos definir entonces normal significa: positivo y negativo de piezas, etc. son normales.

Así que en la clase de Monotonía Cerrado C*-álgebras, nos podría permitir que Un* ser el espacio de lo normal funcionales, y dar Un* a la topología de la norma. Entonces creo que a=a** sólo si a es Un álgebra de von Neumann (o de lo contrario no se inyecte en Una**).

Lo que no veo es cómo extender a todas las C*-álgebras.

Answer 2

Aquí está una topología que va a trabajar para separables álgebras de von Neumann:

Fijar un espacio de Hilbert separable H. La topología en Una se obtiene tirando hacia atrás de la σ-topología débil en B(H) a lo largo de todos los posibles C*-álgebra homomorphisms Un→ B(H).

Del mismo modo, la topología en Un* se obtiene empujando hacia adelante la norma de la topología en
l¹B(H) = (B(H)),σ-débil)* a lo largo de los mapas l¹B(H) → Un* inducida por el anterior homomorphisms Un→ B(H).

---

Si quieres que esto funcione para todas las C*-álgebras, entonces la respuesta a tu pregunta es, probablemente, "no". De hecho, no-normal representación de una de von Neumann algerba Un→ B(H) es una de morfismos de C*-álgebras, y, en particular, debe ser continua para su topología (que es como me interpretar el requisito de "functorial topología"). Esto parece imposible para mí.

Answer 3

Considerar la monomorphism A→A** de los espacios de Banach. Aquí Un** denota el segundo doble de Un como un espacio de Banach. El espacio de Banach** A es un álgebra de von Neumann con el predual de ser Un*. Consulte la Sección 1.17 en Sakai de la C*‑álgebras y W*‑álgebras.

Tenemos una propiedad conmutativa de la plaza de los espacios de Banach que consta de morfismos A→A**→B** a y a→B→B**. Por lo tanto, podemos tire hacia atrás de la ultraweak la topología en Una** y obtener un functorial la topología en C*‑álgebras, debido a la conmutatividad de la plaza de arriba.

De ahora en adelante denotaremos por a* el dual de Un en la nueva topología y por Un** el doble de Un* en la norma de la topología

Si la canónica de morfismos A→A** es un isomorfismo, entonces predual, por lo tanto es un álgebra de von Neumann.

Por desgracia, si a es Un álgebra de von Neumann, entonces la topología functorial no coincide con la topología ultraweak y la canónica de morfismos A→A** no es un isomorfismo.

Podemos solucionar este problema mediante la composición de la monomorphism A→A** con la multiplicación por una cierta proyección central. Sin embargo, la definición de esta central de proyección se basa en el hecho de que es una de von Neumann álgebra y yo no veo ninguna manera de extender arbitraria de las C*‑álgebras.