Derivando la bivariante distribución de Poisson

Question

Recientemente he encontrado bivariado distribución de Poisson, pero estoy un poco confundido en cuanto a cómo se pueden derivar.

La distribución está dada por:

$P(X = x, Y = y) = e^{-(\theta_{1}+\theta_{2}+\theta_{0})} \displaystyle\frac{\theta_{1}^{x}}{x!}\frac{\theta_{2}^{y}}{y!} \sum_{i=0}^{min(x,y)}\binom{x}{i}\binom{y}{i}i!\left(\frac{\theta_{0}}{\theta_{1}\theta_{2}}\right)^{i}$

De lo que he entendido, el $\theta_{0}$ plazo es una medida de correlación entre el$X$$Y$; por lo tanto, cuando se $X$ $Y$ son independientes, $\theta_{0} = 0$ y la distribución, simplemente se convierte en el producto de dos univariante distribuciones de Poisson.

Teniendo esto en mente, mi confusión se basa en la suma plazo - estoy asumiendo que este término explica la correlación entre el$X$$Y$.

A mí me parece que el sumando constituye algún tipo de producto de funciones de distribución acumulativa binomial donde la probabilidad de "éxito" está dado por $\left(\frac{\theta_{0}}{\theta_{1}\theta_{2}}\right)$ y la probabilidad de "fracaso" es dado por $i!^{\frac{1}{min(x,y)-i}}$, debido a $\left(i!^{\frac{1}{min(x,y)-i!}}\right)^{(min(x,y)-i)} = i!$, pero podría ser una forma de compromiso con esta.

Podría alguien proporcionar asistencia sobre cómo esta distribución puede ser derivada? También, si se la puede incluir en cualquier respuesta de cómo este modelo puede ser extendido a una multivariante escenario (es decir, en tres o más variables aleatorias), que sería genial!

(Por último, he notado que no era una pregunta similar publicado antes (la Comprensión de la bivariante distribución de Poisson), pero la derivación no era realmente explorado.)

Answer 1

En una presentación de diapositivas, Karlis y Ntzoufras definir un bivariante de Poisson la distribución de $(X,Y)=(X_1+X_0,X_2+X_0)$ cuando la $X_i$ independientemente de Poisson $\theta_i$ distribuciones. Recordemos que el hecho de tener tal medios de distribución

$$\Pr(X_i=k) = e^{-\theta_i}\frac{\theta_i^k}{k!}$$

para $k=0, 1, 2, \ldots.$

El evento $(X,Y)=(x,y)$ es distinto de la unión de los eventos

$$(X_0,X_1,X_2) = (i,x-i,y-i)$$

para todos los $i$ que hacen los tres componentes enteros no negativos, de la cual podemos deducir que $0 \le i \le \min(x,y)$. Debido a que el $X_i$ son independientes de sus probabilidades se multiplican, de donde

$$F_{(\theta_0,\theta_1,\theta_2)}(x,y)=\Pr((X,Y)=(x,y)) \\= \sum_{i=0}^{\min(x,y)} \Pr(X_0=i)\Pr(X_1=x-i)\Pr(X_2=y-i).$$

Esta es una fórmula; hemos terminado. Pero al ver que es equivalente a la fórmula de la pregunta, el uso de la definición de la distribución de Poisson para escribir estas probabilidades en términos de los parámetros $\theta_i$ y (asumiendo que ninguno de $\theta_1,\theta_2$ es cero) volver a trabajar algebraicamente a la mirada tanto como sea posible, como el producto de $\Pr(X_1=x)\Pr(X_2=y)$:

$$\eqalign{ F_{(\theta_0,\theta_1,\theta_2)}(x,y) y= \sum_{i=0}^{\min(x,y)} \left( e^{-\theta_0} \frac{\theta_0^i}{i!}\right) \left( e^{-\theta_1} \frac{\theta_1^{x i}}{(x-i)!}\right) \left( e^{-\theta_2} \frac{\theta_2^{y i}}{(y-i)!}\right) \\ &=e^{-(\theta_1+\theta_2)}\frac{\theta_1^x}{x!}\frac{\theta_2^y}{y!}\left(e^{-\theta_0}\sum_{i=0}^{\min(x,y)} \frac{\theta_0^i}{i!}\frac{x!\theta_1^{-i}}{(x-i)!}\frac{y!\theta_2^{-i}}{(y-i)!}\a la derecha). }$$

Si usted realmente desea, es algo sugerente--usted puede re-expresar los términos de la suma utilizando los coeficientes binomiales $\binom{x}{i}=x!/((x-i)!i!)$$\binom{y}{i}$, lo que da

$$F_{(\theta_0,\theta_1,\theta_2)}(x,y) = e^{-(\theta_0+\theta_1+\theta_2)}\frac{\theta_1^x}{x!}\frac{\theta_2^y}{y!}\sum_{i=0}^{\min(x,y)}i!\binom{x}{i}\binom{y}{i}\left(\frac{\theta_0}{\theta_1\theta_2}\right)^i,$$

exactamente igual que en la pregunta.

---

La generalización a multivariante escenarios podrían proceder de varias maneras, dependiendo de la flexibilidad necesaria. La más sencilla sería contemplar la distribución de

$$(X_1+X_0, X_2+X_0, \ldots, X_d+X_0)$$

independiente de Poisson distribuido varia $X_0, X_1, \ldots,X_d$. Para obtener más flexibilidad variables adicionales que podrían introducirse. Por ejemplo, el uso independiente de Poisson $\eta_i$ variables $Y_1, \ldots, Y_d$ y considerar la distribución multivariante de la $X_i + (Y_i + Y_{i+1} + \cdots + Y_d)$, $i=1, 2, \ldots, d.$

Answer 2

Aquí es una manera de obtener la bivariante distribución de poisson.

Deje $X_0, X_1, X_2$ ser independiente de poisson variables aleatorias con los parámetros de $\theta_0, \theta_1, \theta_2$. A continuación, definimos $Y_1=X_0+X_1, Y_2 = X_0+X_2$. La variable $X_0$, común a ambos $Y_1$$Y_2$, hace que el par $(Y_1, Y_2)$ estar correlacionados. Entonces debemos calcular la probabilidad de masa funtion:

$$ \begin{align} P(Y_1=y_1, Y_2=y_2) &= P(X_0+X_1=y_1, X_0+X_2=y_2) \\ &= \sum_{x_0=0}^{\min(y_1, y_2)} P(X_0=x_0) P(X_1=y_1-x_0) P(X_2=y_2-y_0) \\ &= \sum_{x_0=0}^{\min(y_1, y_2)} e^{-\theta_0} \frac{{\theta_0}^{x_0}}{x_0!} e^{-\theta_1} \frac{{\theta_1}^{y_1-x_0}}{(y_1-x_0)!} e^{-\theta_2} \frac{{\theta_2}^{y_2-x_0}}{(y_2-x_0)!} \\ &= e^{-\theta_0-\theta_1-\theta_2} {\theta_1}^{y_1} {\theta_2}^{y_2} \sum_{x_0=0}^{\min(y_1,y_2)} \left(\frac{\theta_0}{\theta_1 \theta_2}\right)^{x_0} x_0! \binom{y_1}{x_0} \binom{y_2}{x_0} \end{align} $$
Espero que esto ayude!