Finito factor de anillo

Question

Estoy leyendo el artículo "Cómo usar campos finitos para problemas relativos a infinito campos" de Jean-Pierre Serre.

En p 2, Serre utiliza el hecho de que, si $\Lambda\subset\mathbb C$ es un anillo finitely generado más de $\mathbb Z$ $\mathcal M$ es un ideal maximal de a$\Lambda$, $\Lambda/\mathcal M$ es un campo finito.

Serre se refiere a la p.68 de "Bourbaki, N., Algebre Conmutativa. Chapitre V. Entradas, Hermann, París, 1964"

Pero en este libro p. 68 no veo la prueba de este hecho.

Alguien me puede decir donde puedo encontrar una prueba de este hecho?

Answer 1

Esto es suficiente para demostrar que un campo de $R$, que es finito tipo más de $\mathbb{Z}$, ya es un campo finito.

Deje $P$ ser el primer campo de $R$. A continuación, $R$ es finito tipo más de $P$, por lo tanto finito ya que ambos son campos; esta es una conocida aplicación de Noether normalización. Aplicando ahora la Proposición 7.8 en Atiyah-Macdonald a $\mathbb{Z} \to P \to R$ muestra que $\mathbb{Z} \to P$ es finito tipo. Por lo tanto $P \not\cong \mathbb{Q}$ y, por tanto, $P$ es finito, el primer campo. Por lo tanto, también a $R$ es finito.

En realidad, más es cierto: Un anillo conmutativo es finito iff es artinian y finito de tipo más de $\mathbb{Z}$. Vea aquí.

Si quieres saber una referencia para la citada prueba, usted debe encontrar uno en el contexto de las conjeturas de Weil desde allí es crucial que un determinado tipo de esquema sobre $\mathbb{Z}$ ha finito de residuos de campos.