Demostrando que $G/N$ es un grupo abelian

Question

Deje $G$ el grupo de todos los $2 \times 2$ matrices de la forma $\begin{pmatrix} a & b \\ 0 & d\end{pmatrix}$ donde $ad \neq 0$ bajo la multiplicación de la matriz. Deje $N=\left\{A \in G \; \colon \; A = \begin{pmatrix}1 & b \\ 0 & 1\end{pmatrix} \right\}$ ser un subconjunto del grupo de $G$. Demostrar que $N$ es un subgrupo normal de $G$ y demostrar que $G/N$ es abelian grupo.

Aquí está mi intento!

Para demostrar $N$ es normal considero que el grupo homomorphism $f \colon G \to \mathbb R^*$ $f(B) = \det(B)$ todos los $B$$G$. Y veo que $f(N)$ es todos los singleton $\{1\}$ desde $\{1\}$ como un subgrupo de $\mathbb R^*$ es normal, se sigue que $N$ también es normal. Es esto una prueba muy útil aquí? Entonces, ¿cómo demostrar que $G/N$ es Abelian? Sé $G/N$ es una colección de izquierda cosets.

Gracias.

Answer 1

Una forma es utilizando el primer teorema de isomorfismo.

Para hacer esto usted debe encontrar un grupo de homomorphism tal que $\operatorname{Ker} \varphi=N$.

Tratemos de $\varphi: G\to \mathbb R^*\times \mathbb R^*$ dada por $$\begin{pmatrix} a & b \\ 0 & d\end{pmatrix} \mapsto (a,d).$$ (Por $\mathbb R^*$ I denota el grupo de $\mathbb R^*=\mathbb R\setminus\{0\}$ con la multiplicación. Por $G\times H$ I denota el producto directo de dos grupos, tal vez su libro utiliza la notación $G\oplus H$).

Es relativamente fácil comprobar que $\varphi$ es un surjective homomorphism. Está claro que $\operatorname{Ker} \varphi=N$. Por lo tanto, por el primer teorema de isomorfismo, $$G/N \cong \mathbb R^*\times\mathbb R^*$$ Este es un conmutativa grupo.

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Si lo prefiere, por cualquier razón, no con el primer teorema de isomorfismo, también se podría tratar de verificar uno de definiciones equivalentes de subgrupo normal y, a continuación, describir los cosets y su multiplicación.

En este caso usted tiene $$\begin{pmatrix} a & b \\ 0 & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & b' \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \frac1{ad} \begin{pmatrix} d & -b \\ 0 & a \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 & \frac{ab'}d \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$ (He omitido los cálculos), lo que muestra que $xNx^{-1}\subseteq N$ cualquier $x\in G$.

Usted puede encontrar fácilmente que cosets son los conjuntos de la forma $$\{\begin{pmatrix} x & y \\ 0 & z \end{pmatrix}; y\in\mathbb R\}$$ para $x,z\in\mathbb R\setminus\{0\}$ y que la multiplicación de cosets representantes de $\begin{pmatrix} x & 0 \\ 0 & z \end{pmatrix}$ es coordinar sabio.

Answer 2

Me gustaría añadir uno más, el camino para resolver el problema. Si $A= \begin{pmatrix} a && b \\ 0 &&c \end{pmatrix}$$B= \begin{pmatrix} d && e \\ 0 &&f \end{pmatrix}$$[A,B]=ABA^{-1}B^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & -\frac{e}{f}+\frac{\frac{-db}{c}+\frac{ae+bf}{c}}{f} \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$. La sustitución de $e=0$, $f=1$, $c=1$, $b=1$ y $d=1-k$ para cualquier k vemos que $N=G'$ es de hecho el (primer) que se derivan del subgrupo de $G$ y, por tanto, $G/N$ es necesariamente Abelian (incluso el más grande de Abelian factor grupo de $G$).

De couse esta prueba supone un poco más de conocimiento por parte del lector de Martin excelente solución.