Encontrar $n$, donde su factorial es un producto de factoriales

Question

Necesito solucionar $3! \cdot 5! \cdot 7! = n!$ para $n$.

He tratado de simplificar de la siguiente manera:

$$\begin{array}{} 3! \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3! \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3! &= n! \\ (3!)^3 \cdot 5^2 \cdot 4^2 \cdot 7 \cdot 6 &= n! \\ 6^3 \cdot 5^2 \cdot 4^2 \cdot 7 \cdot 6 &= n! \\ 6^4 \cdot 5^2 \cdot 4^2 \cdot 7 &= n! \\ \end{array}$$

Realmente no vi esto me ayuda.

Luego traté de $6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 25 \cdot 16 \cdot 7$, pero $25$ sólo $5$ como un doble factor.

Alguna idea?

Answer 1

Tenemos

$$3!\cdot 5!\cdot 7!=(1\cdot 2\cdot 3)\cdot (1 \cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5)\cdot 1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6\cdot 7,$$

y la combinación de algunos de los da

$$1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6\cdot 7\cdot \underbrace{(2\cdot 4)}_8\cdot \underbrace{(3\cdot 3)}_9\cdot \underbrace{(2\cdot 5)}_{10}=10!$$

Answer 2

Si la fórmula es verdadera sólo puede ser, posiblemente,$8!$, $9!$, o de 10$!$ porque el 11$!$ y más grandes, tienen un factor de $11$. $8!$ no tiene un gran poder suficiente de $3$, y $9!$ no tiene un gran poder suficiente de $5 dólares, por lo que si la fórmula que la contiene debe ser de 10$!$.

Answer 3

Ya tienes algo inteligente respuestas; aquí es menos inteligente enfoque. Quieres $$ 3!\cdot5!\cdot7!=n!=7!\cdot8\cdot9\cdots\cdot n, $$ así, la cancelación de 7! y de computación que $3!\cdot 5!=6\cdot120=720$, te quiero $$ 720=8\cdot9\cdots\cdot n. $$ Ahora se empiezan a multiplicar ambos lados por 8, 9, etc. hasta que llegue la respuesta. Dividiendo por 8 da $90=9\cdots$ n, y, a continuación, ver la respuesta ya, o dividir ambos lados por 9 para obtener el resultado.

Answer 4

$$\begin{align} 3! \cdot 5! \cdot 7! Y= 6 \cdot 120 \cdot 7! \\ Y= 6 \cdot 15 \cdot 8! \\ Y= 2 \cdot 5 \cdot 9! \\ &= 10 \cdot 9! \\ &= 10! \end{align}$$

Answer 5

Debería funcionar, si partimos de la factorización de números enteros consecutivos fuera de la expresión. Usted tiene que reducir a este $$ 6 \cdot 6^3\cdot5^2 \cdot 4^2 \cdot 7 =$$ $$2\cdot 3 \cdot (6^3 \cdot 5^2 \cdot 4^2 \cdot 7)=2 \cdot 3 \cdot 4\cdot 5\cdot 6\cdot 7\cdot (6^2 \cdot 5\cdot 4)$$ Este es un buen comienzo, pero ahora necesitamos un 8. llegamos a un 8 por utilizar nuestro 4 y un factor de 2 a partir de uno de nuestros 6s. Esto produce que: $$2\cdot3\cdot4\cdot5\cdot6\cdot7\cdot8\cdot(3\cdot6\cdot5)$$ Se puede obtener un 9 mediante el uso de nuestros 3 y un factor de 3 de los 6. Lo que sigue:$$2\cdot3\cdot4\cdot5\cdot6\cdot7\cdot8\cdot9\cdot(2\cdot5)=10!$$ ¿Sobre que?