el segmento a través de un fijo de punto interior de un conjunto convexo compacto que es al menos tan larga como su parallels

Question

El siguiente es un ejercicio de Conferencias sobre la Geometría Discreta por J. Matousek, que me parece duro.

Deje $C\subset \mathbb{R}^d$ ser un compacto conjunto convexo con un vacío interior, y deje $p\in C$ ser un punto interior. Mostrar que existe una línea de $\ell$ pasando a través de $p$ tales que el segmento de $\ell\cap C$ es al menos tan largo como cualquier segmento paralelo a $\ell$ y el contenido en $C$.

Answer 1

Usted puede utilizar la siguiente instrucción: no Hay unidad de campo vectorial $v$ $S^n$ que es anti-simétrica con respecto a la simetría central de $S^n$.

Este teorema tiene porque si se dispone de una unidad de campo, entonces usted tendría un homothopy de $S^n$ $S^n$que se conecta el mapa de identidad con un mapa de $S^n$ a sí que los factores a través de un mapa a $RP^n$. Pero ese mapa $S^n\to RP^n\to S^n$, e incluso el grado (es decir, el grado puede no ser $1$).

Ahora si acepta la declaración, se puede razonar de la siguiente manera.

Denotar por $C_{\varepsilon}$ el conjunto de puntos de distancia en la mayoría de las $\varepsilon$$C$. Es suficiente para demostrar el estado de cuenta para cada una de las $C_{\varepsilon}$ y, a continuación, tomar el límite de $\varepsilon\to 0$. Ahora, $C_{\varepsilon}$ $C^1$- liso límite, es decir, en cada punto de $\partial C_{\varepsilon}$ hay un único apoyo hyperplane.

Supongamos que para cada segmento de $[x,y]$ que pasa a través de $p$ que $x,y\in \partial C$ el apoyo hyperplanes $P_x$ $P_y$ se cruzan. A continuación, elegimos la unidad de vectores en $P_x$ $P_y$ $x$ $y$ respectivamente, en que punto exactamente hacia $P_x\cap P_y$. Esto le dará la deseada vector-presentado (anti-simétrica con respecto a la involución de $\partial C$ que los intercambios de los extremos de los segmentos que pasa a través de $p$).

Yo nunca vi el libro, así que no sé si esta es la solución que se espera en este libro