Esta pregunta es en mi tarea. No se nos permite usar cualquier símbolo para representar cualquier elementales de fila y columna de operaciones utilizadas en la solución. Debemos resolverlo paso a paso. Por favor me ayudan a comprobar mi solución palabra por palabra, incluyendo mi ortografía y gramática.
Pregunta:
Dado que
$$\begin{vmatrix}a& b& c\\ d& e& f\\ g& h& i\end{vmatrix}=2$$
encontrar
$$\begin{vmatrix}3c-6a& 3b& a\\ 3i-9c+18a-6g& 3h-9b& g-3a\\ 3f-6d& 3e& d\end{vmatrix}.$$
Solución:
Hemos de intercambio de la segunda y tercera filas de la matriz $\begin{pmatrix}a& b& c\\ d& e& f\\ g& h& i\end{pmatrix}$ para obtener la matriz de $\begin{pmatrix}a& b& c\\ g& h& i\\ d& e& f\end{pmatrix}$ y hemos
$$\begin{vmatrix}a& b& c\\ g& h& i\\ d& e& f\end{vmatrix}=-\begin{vmatrix}a& b& c\\ d& e& f\\ g& h& i\end{vmatrix}=-2.$$
Hemos de intercambio de la primera y tercera columnas de la matriz $\begin{pmatrix}a& b& c\\ g& h& i\\ d& e& f\end{pmatrix}$ para obtener la matriz de $\begin{pmatrix}c& b& a\\ i& h& g\\ f& e& d\end{pmatrix}$ y hemos
$$\begin{vmatrix}c& b& a\\ i& h& g\\ f& e& d\end{vmatrix}=-\begin{vmatrix}a& b& c\\ g& h& i\\ d& e& f\end{vmatrix}=-(-2)=2.$$
Multiplicamos la segunda columna de la matriz $\begin{pmatrix}c& b& a\\ i& h& g\\ f& e& d\end{pmatrix}$ por 3 para obtener la matriz de $\begin{pmatrix}c& 3b& a\\ i& 3h& g\\ f& 3e& d\end{pmatrix}$ y hemos
$$\begin{vmatrix}c& 3b& a\\ i& 3h& g\\ f& 3e& d\end{vmatrix}=3\begin{vmatrix}c& b& a\\ i& h& g\\ f& e& d\end{vmatrix}=(3)(2)=6.$$
Añadimos $(-2)$ los tiempos de la tercera columna de la matriz $\begin{pmatrix}c& 3b& a\\ i& 3h& g\\ f& 3e& d\end{pmatrix}$ a su primera columna para obtener la matriz de $\begin{pmatrix}c-2a& 3b& a\\ i-2g& 3h& g\\ f-2d& 3e& d\end{pmatrix}$ y hemos
$$\begin{vmatrix}c-2a& 3b& a\\ i-2g& 3h& g\\ f-2d& 3e& d\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}c& 3b& a\\ i& 3h& g\\ f& 3e& d\end{vmatrix}=6.$$
Añadimos $(-3)$ veces la primera fila de la matriz $\begin{pmatrix}c-2a& 3b& a\\ i-2g& 3h& g\\ f-2d& 3e& d\end{pmatrix}$ a su segunda fila para obtener la matriz de $\begin{pmatrix}c-2a& 3b& a\\ i-3c+6a-2g& 3h-9b& g-3a\\ f-2d& 3e& d\end{pmatrix}$ y hemos
$$\begin{vmatrix}c-2a& 3b& a\\ i-3c+6a-2g& 3h-9b& g-3a\\ f-2d& 3e& d\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}c-2a& 3b& a\\ i-2g& 3h& g\\ f-2d& 3e& d\end{vmatrix}=6.$$
Finalmente, multiplicamos la primera columna de la matriz $\begin{pmatrix}c-2a& 3b& a\\ i-3c+6a-2g& 3h-9b& g-3a\\ f-2d& 3e& d\end{pmatrix}$ por 3 para obtener la matriz de $\begin{pmatrix}3c-6a& 3b& a\\ 3i-9c+18a-6g& 3h-9b& g-3a\\ 3f-6d& 3e& d\end{pmatrix}$ y hemos
$$\begin{vmatrix}3c-6a& 3b& a\\ 3i-9c+18a-6g& 3h-9b& g-3a\\ 3f-6d& 3e& d\end{vmatrix}=3\begin{vmatrix}c-2a& 3b& a\\ i-3c+6a-2g& 3h-9b& g-3a\\ f-2d& 3e& d\end{vmatrix}=(3)(6)=18.$$
Gracias.
