Deje $f$ ser un bijection $\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ , demostrar que existen enteros positivos tales que...

Question

Deje $f:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} $ ser un bijection.

Demostrar que existen enteros positivos $a < a + d < a + 2d$ tal que $f(a) < f(a + d) < f(a + 2d).$

Answer 1

Sea a = $f^{-1}(1)$.

Deje $b_1 = f^{-1}(2)$.

1) Si $b_1> a$ $d = b_1-a$. $f(b_1 + d) > 2$. Por lo tanto $$a < b_1 = a + d < b_1+ d = a + 2d$$ and $f(a) < f(a + d) < f(a +2d)$.

2) Si $b_1< a$, vamos a $b_2= f^{-1}(3)$ y proceder como en 1) anterior. Repita según sea necesario hasta que $b_m= f^{-1}(m+1)> a$

Hay sólo un número finito de números naturales a menos de una, por lo que para algunos $k$ $b_k$ debe ser mayor que $a$. Establecimiento $d = b_k-a$ nos da nuestra solución.