Hoy en día, la mayoría de los resultados importantes en matemáticas se conjeturan mucho antes de demostrarse.
¿Existen ejemplos de descubrimientos matemáticos (importantes) que se hayan demostrado por casualidad y no porque los autores hayan realizado una investigación específica sobre una hipótesis? Me interesan especialmente los resultados obtenidos en los últimos 100 años aproximadamente.
Un ejemplo divertido de teoría de la prueba. La correspondencia Curry-Howard vincula los cálculos computacionales a los sistemas lógicos. En particular, existen (antiguos) isomorfismos entre un sistema de deducción al estilo de Hilbert y los combinadores, y entre la deducción natural y el lambda-cálculo, ambos en el caso de la lógica intuicionista. La creencia generalizada era que no había nada parecido para la lógica clásica, o más bien todos los lógicos sabían que era una tarea imposible, porque la lógica clásica no tenía ningún significado computacional. (Nota: la lógica clásica es la lógica intuicionista con la ley del medio excluido, $A\vee \neg A$ añadido como regla de inferencia).
Pero en 1989, un informático, que no sabía que era imposible, lo hizo: dio un sistema de tipos para Scheme, con la fórmula $\texttt{call/cc}$ primitiva, que fue tecleada por Ley de Peirce una regla equivalente a la ley del término medio excluido. De ahí la Isomorfismo de Curry-Howard se generalizó a la lógica clásica y luego a muchos cálculos más complejos, lo que influyó enormemente en el campo de la teoría de la prueba, influyendo en los asistentes de prueba y en el diseño de lenguajes de programación.
En 1979-80, cuando _Benoit Mandelbrot_ fue profesor visitante de Matemáticas en la Universidad de Harvard tuvo la oportunidad de utilizar el nuevo Ordenador Vax. En el $1$ de marzo $1980$ tenía una primera imagen detallada de un molécula insular en el conjunto de Mandelbrot para \begin{align*} z\rightarrow z^2-c \end{align*}
B. Mandelbrot escribió en su contribución Los fractales y el renacimiento de la teoría de la iteración en _La belleza de los fractales_ por Heinz-Otto Peitgen y Peter Richter:
... La belleza de muchos fractales es aún más extraordinaria por haber sido totalmente inesperada ...
Me gustaría ampliar un poco el comentario de @AlexR, citando el llamado Luz de luna monstruosa .
The Monstrous Moonshine es un vínculo -que permaneció esquivo durante mucho tiempo, y que le valió a Richard Borcherds una medalla fields por hacerlo explícito- entre dos dominios aparentemente no relacionados: las representaciones irreducibles de la Grupo de monstruos (de ahí su nombre) y formas modulares. La observación fortuita fue la siguiente:
La expansión de Fourier del $j$ -invariante (alguna función en la mitad superior del plano complejo con algunas propiedades interesantes) viene dada por $$j(\tau) = \frac{1}{q} + 744 + 196884q + 21493760q^2+\ldots$$ donde $q=e^{2\pi i\tau}$ . Al mismo tiempo, tenemos el grupo Monster, es decir, el mayor de los grupos simples finitos esporádicos. Nos fijamos en sus representaciones irreducibles más pequeñas y observamos que tienen dimensión $r_1 = 1$ (la representación trivial), $r_2 = 196883$ , $r_3 = 21296876$ ,... Esas dos secuencias de números son inquietantemente similares, y de hecho uno se da cuenta de que $196884 = r_1 + r_2$ y $r_1+r_2+r_3$ (e identidades similares valen también para coeficientes superiores de la expansión de Fourier y representaciones irreducibles de dimensión superior). Esto fue observado por McKay en 1978, y la pregunta natural que surgió es: ¿Existe alguna estructura oculta que explique esas relaciones aparentemente sin sentido?
Esta pregunta estimuló una gran cantidad de investigación, y se llegó a una respuesta con el trabajo de Borcherds en 1992 a través de álgebras de operadores de vértice.
No estoy seguro de si puedo llamar a esto un resultado matemático ya que este fenómeno dista mucho de ser comprendido, pero creo que la noción de Espiral de Ulam es bastante famoso y fue descubierto por casualidad.
Hasta el verano de 1960, la mayoría de los historiadores y filósofos (y posiblemente muchos matemáticos) creían (siguiendo a Bishop Berkeley, Moigno, Cantor, Russell y otros) que los infinitesimales (como posible fundamento del análisis) habían demostrado su inconsistencia y habían sido relegados al basurero de la historia. De hecho, Cantor publicó una supuesta "prueba" de la inconsistencia de los infinitesimales que influyó en numerosos estudiosos como Russell, como analiza Philip Ehrlich en este artículo de 2006 .
Caminando hacia el Fine Hall de la Universidad de Princeton en el otoño de 1960, Abraham Robinson se dio cuenta de que se podía encontrar una forma de hacer rigurosos los infinitesimales (como posible fundamento del análisis). Para más detalles, véase la biografía de Robinson en Dauben:
Dauben, J. Abraham Robinson, La creación del análisis no estándar: Una odisea personal y matemática (Princeton, N.J.: Princeton University Press, 1995).
Este descubrimiento fortuito explicaba por qué los matemáticos históricos como Leibniz, Euler y Cauchy cometían tan pocos errores al manipular infinitesimales, y sentaba las bases de un fructífero campo de investigación.
Abraham Fraenkel escribió en los años 60 que "mi alumno Robinson salvó el honor de los infinitesimales".
El marco de Robinson ha sido defendido recientemente por Terry Tao que defiende las ventajas conceptuales de utilizar los hiperreales y las estructuras relacionadas con los hiperreales.
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Alguien con más bagaje histórico puede ampliarlo, pero creo que muchos de los resultados en los que se basa la teoría de Monstrous Moonshine fueron observaciones accidentales procedentes de campos muy diversos: es.wikipedia.org/wiki/Luz_de_luna_monstruosa