Un malentendido relativo a $\pi$

Question

La muy conocida expresión $$\frac {\pi} {4} = 1 - \frac {1} {3} + \frac {1} {5} - \frac {1} {7} + \cdots$$ me pone cara a cara con una posición contradictoria. Vamos $$s_N = \sum_{k = 0}^{N} \frac {1} {4k + 1} - \sum_{k = 0}^{N} \frac {1} {4k + 3}.$$ Entonces es obvio que $$\frac {\pi} {4} = \lim_{N \to \infty} s_N.$$ Por Euler-MacLaurin suma fórmula, $$\sum_{k = 0}^{N} \frac {1} {4k + 1} = \int_{0}^{N} \frac {dx} {4x + 1} + \frac {1} {2} \left(1 + \frac {1} {4N + 1} \right) + o \left (\frac {1} {N^2} \right)$$ y $$\sum_{k = 0}^{N} \frac {1} {4k + 3} = \int_{0}^{N} \frac {dx} {4x + 3} + \frac {1} {2} \left(\frac {1} {3} + \frac {1} {4N + 3} \right) + o \left (\frac {1} {N^2} \right).$$ Entonces tenemos $$s_N = \frac {1} {4} \log \left(3 - \frac {6} {4N + 3} \right) + \frac {1} {3} + \frac {1} {(4N + 1) (4N + 3)} + o \left (\frac {1} {N^2} \right)$$ y $$\lim_{N \to \infty} s_N = \frac {\log 3} {4} + \frac {1} {3}.$$ Pero $\frac {\log 3} {4} + \frac {1} {3} \ne \frac {\pi} {4}$. ¿Cómo ven? Donde he hecho el error?

Answer 1

El error seguramente se encuentra en la $o\left({1\over N^2}\right)$ plazo(s). Mírelo de esta manera: el uso de Euler-Maclaurin sugeriría

$$\sum_{k=1}^N{1\over k}=\int_1^N{dx\over x}+{1\over2}\left(1+{1\over N}\right)+o\left({1\over N^2}\right)$$

así, lo que podría sugerir

$$\sum_{k=1}^N{1\over k}-\log N\to{1\over2}$$

en lugar de $\gamma\approx0.5772$.

Answer 2

esos errores a veces son difíciles de localizar! sin embargo, su idea es interesante. esto conduce a la siguiente expansión: $$ S=\sum_{k=0}^{\infty} \frac1{4k+1}-\frac1{4k+3} \\ =1 -\sum_{k=1}^{\infty} \frac1{4k-1}-\frac1{4k+1} $$ por lo tanto $$ 1-S =\sum_{k=1}^{\infty} \frac1{4k-1}-\frac1{4k+1} \\ =2\sum_{k=1}^{\infty}\frac1{(4k)^2}\left(1-\frac1{(4k)^2}\right)^{-1} \\ =2\sum_{k=1}^{\infty}\sum_{n=1}^{\infty} \frac1{(4k)^{2n}} \\ =2\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{4^{2n}}\sum_{k=1}^{\infty}\frac1{k^{2n}} \\ =2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\zeta(2n)}{2^{4n}} $$ ahora, usando la expresión para la función zeta en números enteros en términos de los números de Bernouilli: $$ 2\zeta(2n)=(-1)^{n+1}\frac{(2\pi)^{2n}}{(2n)!}B_{2n} $$ obtenemos $$ 1-S = \sum_{k=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{B_{2n}}{(2n)!}\left(\frac{\pi}2\right)^{2n} $$ y, reordenación, con $S=\frac{\pi}4$, obtenemos $$ \frac{\pi}4 = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{B_{2n}}{(2n)!}\left(\frac{i\pi}2\right)^{2n} $$

Answer 3

Como se ha señalado por otros, que un mal uso a la de Euler-Maclaurin de la fórmula.

De hecho, los términos siguientes supondrá unos coeficientes de los tiempos de los poderes de $1,\dfrac13,\dfrac1{4N+1}$$\dfrac1{4N+3}$. Los términos constantes no desaparecen como $N\to\infty$.