el campo numérico $\mathbb{Q}(\cos \frac \pi n)$

Question

Dejemos que $x$ sea $\cos \displaystyle \frac \pi n$ para algún número natural $n$ . Entonces, ¿es cierto que $\mathbb{Q}(x^2+x)=\mathbb{Q}(x)$ ?

Answer 1

Dejemos que $u=x^2+x$ entonces $x$ satisface la ecuación cuadrática $X^2+X-u$ en $Q(u)$ Así que $Q(x)$ es como máximo una extensión cuadrática de $Q(u)$ . Se sabe que $\deg(x)=\phi(n)/2$ en caso de que $n=p$ un primo entonces $\deg(x)=(p-1)/2$ .

Por lo tanto, si $p=3 \mod 4$ entonces $\deg(x)$ es impar así que $Q(u)=Q(x)$ .