(No una respuesta.) Un marco más amplio, es considerar las secuencias de $(a_n)_{n\geqslant1}=(a_n^{c,\mathbf b})_{n\geqslant1}$ definida recursivamente por las identidades
$$
\sum_{k=1}^n\frac{a_k}{n+1-ck}=b_n,
$$
para cada $n\geqslant1$, para algún parámetro de $c$ $(0,1)$ y alguna secuencia $\mathbf b=(b_n)_{n\geqslant1}$ convergentes para algunos límite de $\beta$. Así, por ejemplo,
$$
a_1=(2-c)b_1,\quad a_2=(3-2c)\left(b_2-\frac{2-c}{3-c}b_1\right)\ \cdots
$$
Básicos de manipulaciones algebraicas muestran que la secuencia en el post es el caso cuando se $c=1/2$ $b_n=n/(n+1)$ por cada $n$, lo $\beta=1$.
Conjetura de Una Por cada $(c,\mathbf b)$ como en el anterior, la secuencia de $(a_n^{c,\mathbf b})_{n\geqslant1}$ converge.
Al $(a_n)_{n\geqslant1}$ converge, entonces, como se menciona en el post al $c=1/2$, su límite es $\beta/\vartheta(c)$, donde
$$
\vartheta(c)=-\frac{\log(1-c)}c=\lim\limits_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac{1}{n+1-ck}.
$$
En la pregunta, $\vartheta(c)=2\ln2$$\beta=1$, y, de hecho,$\beta/\vartheta(c)=1/(2\ln2)$.
Una primera línea de ataque de la conjetura sería que, para demostrar que la convergencia de $(a_n)_{n\geqslant1}$ es asintótica con respecto a $\mathbf b$ en el sentido de que la modificación de los valores de $(b_n)_{n\leqslant N}$ no cambia la convergencia de $(a_n)_{n\geqslant1}$, para cada finito $N$. Entonces uno podría suponer sin pérdida de generalidad que $b_n=1$ por cada $n$ por la linealidad de la transformación de $\mathbf b\mapsto(a_n^{c,\mathbf b})_{n\geqslant1}$ (pero la (falta de) monotonía podría ser un problema aquí...), y resolver este caso.
Una observación es que uno es, de hecho, el estudio de la inversa de la infinita inferior triangular de la matriz invertible $(M^c_{n,k})_{n\geqslant1,k\geqslant1}$ definido por $M^c_{n,k}=0$ por cada $1\leqslant n\leqslant k-1$ y, para cada $1\leqslant k\leqslant n$,
$$
M^c_{n,k}=\frac1{n+1-ck}.
$$
Teniendo en cuenta la infinita triangular inferior de la matriz $(T^c_{n,k})_{n\geqslant1,k\geqslant1}$ que es la inversa de a $(M^c_{n,k})_{n\geqslant1,k\geqslant1}$, uno puede ser llevado a demostrar que $T^c_{n,k}\to0$ para todos los fijos $k$ al $n\to\infty$, y que
$$
\lim\limits_{n\to\infty}\sum_{k=1}^nT^c_{n,k}=\frac1{\vartheta(c)}.
$$
Todavía una formulación más general, incluyendo nuestro problema (después de una pequeña modificación que omitimos) es la siguiente: elegir algunos (es decir, positiva continua) la función $u$ $[0,1]$ y definir de forma recursiva alguna secuencia $(a_n)_{n\geqslant1}=(a_n^{u,\mathbf b})_{n\geqslant1}$ por las identidades
$$
\frac1n\sum_{k=1}^nu\left(\frac{k}n\right)a_k=b_n,
$$
para cada $n\geqslant1$. En el caso del post es cuando
$$
u(t)=\frac1{1-ct}.
$$
Conjetura de B Para cada a $(u,\mathbf b)$ como en el anterior, si $\mathbf b$ converge, la secuencia de $(a_n^{c,\mathbf b})_{n\geqslant1}$ converge.
Si $\mathbf b$ converge a $\beta$ e si $(a_n^{u,\mathbf b})_{n\geqslant1}$ converge, entonces $(a_n^{u,\mathbf b})_{n\geqslant1}$ converge a $\beta/\Theta(u)$ donde $\displaystyle\Theta(u)=\int_0^1u(t)\,\mathrm dt.$
