Dada una matriz $A$ tal que $A^{\ell}$ es una constante de matriz, debe $A$ ser una constante de matriz?

Question

Este problema se origina a partir de un ejercicio de Richard Stanley Combinatoria Algebraica. El ejercicio en el texto (Capítulo 3, Ejercicio 2(a)) pide

Deje $G$ ser finito gráfico (que permite a los bucles y varias aristas). Supongo que hay algo de $\ell> 0$, que el número de caminos de longitud $\ell$ desde cualquier fijo vértice $u$ a cualquier fijo vértice $v$ es independiente de $u$$v$. Mostrar que $G$ tiene el mismo número de $k$ de los bordes entre dos vértices (incluyendo $k$ bucles en cada vértice.

La hipótesis de que el problema (que el número de caminos de longitud $\ell$ entre dos vértices es el mismo) nos dice que la matriz de adyacencia $A(G)$ $G$ elevado a la $\ell$ de la energía es una constante de matriz $$ (A(G))^{\ell} = \begin{pmatrix} c & c & \cdots & c \\ c & c & \cdots & c \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ c & c & \cdots & c \end{pmatrix} $$ para algunas constantes $C$. Nos gustaría a la conclusión de que esto significa que la matriz de adyacencia de sí mismo es una constante de matriz (por lo tanto, el número de caminos de longitud 1 entre dos vértices es el mismo, es decir, el número de aristas entre dos vértices es el mismo). Actualización en respuesta a los comentarios de abajo: En este caso también tenemos que $A(G)$ es una matriz simétrica que eliminaría algunos trivial contador de ejemplos.

¿Este resultado se sigue de algo de álgebra lineal? ¿Cuál es la prueba? Si no, ¿hay algún otro enfoque que podría ser más fructífero?

Answer 1

Desde $A(G)$ es simétrica es diagonalizable. En particular, esto implica que $\ker(A(G)^\ell)=\ker(A(G))$ todos los $\ell>0$. Si $A(G)^\ell$ es una constante de matriz, entonces para cualquier $i$ y $j$, $e_i-e_j$ es en su núcleo (donde $\{e_i\}$ es el estándar de base). Por lo tanto $e_i-e_j\in \ker(A(G))$ por cada $i$$j$, que dice que las columnas de a $A(G)$ son todos el mismo. Desde $A(G)$ es simétrica, esto implica todas las entradas de $A(G)$ son los mismos.

Answer 2

Si $A^k$ es constante (todas las entradas están en la misma), entonces no podemos concluir que el $A$ es constante así. Por ejemplo,

$$A=\begin{bmatrix}0 & 1 \\ 0 & 0\end{bmatrix}$$

es tal que $A^2=0$ (por lo que es constante), pero $A$ no es constante.