Proyectiva del espacio, descripciones explícitas de isomorfismo entre la homología.

Question

NOTA: Esta es una continuación de la pregunta a mi pregunta aquí.

Considere la posibilidad de $\mathbb{P}_\mathbb{R}^2$, es decir, el $\mathbb{R}$-proyectiva del plano.

Aquí es un CW complejo de la estructura en $\mathbb{P}_\mathbb{R}^2$. Un $0$-cell $e^0$ $1$- cell $e^1$ $2$- cell $e^2$, que se adjunta a $e^1$ por un grado $2$ mapa.

Aquí está una $\Delta$-estructura compleja en $\mathbb{P}_\mathbb{R}^2$.

Pregunta. ¿Qué es una descripción explícita de la isomorfismo entre el $H_*^{\text{cellular}}(\mathbb{P}_\mathbb{R}^2)$ $H_*^{\text{simplicial}}(\mathbb{P}_\mathbb{R}^2)$ dada la específica estructura celular y específicos simplicial estructura que he elegido para dotar $\mathbb{P}_\mathbb{R}^2$ aquí?

Daniel McLaury dio la siguiente respuesta aquí.

En general, si desea que el mapa de celulares homología singular de homología, acaba de darse cuenta de que si usted tiene una homología de la clase representada por una celda luego de que la célula de cierre puede ser considerada como una singular simplex, por lo que enviar a la célula en sí misma.

Si quieres hablar de homología simplicial aquí, probablemente la forma más fácil de pensar acerca de las cosas, es para mostrar que ambos celulares y homología simplicial son isomorfos a la homología singular. De esa manera usted no tiene que preocuparse acerca de la comparación de la simplicial estructura que has elegido con una estructura celular que hayas elegido. Y la situación anterior funciona para ambos casos.

Sin embargo, esto no responde a mi pregunta. Estoy interesado en una descripción explícita de la isomorfismo entre el $H_*^{\text{cellular}}(\mathbb{P}_\mathbb{R}^2)$ $H_*^{\text{simplicial}}(\mathbb{P}_\mathbb{R}^2)$ dada la específica estructura celular y específicos simplicial estructura que he elegido para dotar $\mathbb{P}_\mathbb{R}^2$ aquí.

Answer 1

En cuanto a su elección de la estructura celular, tenemos el complejo

$$ 0 \longrightarrow C_2 \longrightarrow C_1 \longrightarrow C_0\longrightarrow 0 $$

donde la cadena de módulos se dan como

$$ C_2 = \mathbb Z e_2, \qquad C_1 = \mathbb Z e_1, \qquad C_0 = \mathbb Z e_0, $$

y los mapas se dan como (siempre de acuerdo a sus definiciones)

$$ \partial _2: \mathbb Z e_2 \longrightarrow \mathbb Z e_1 $$

$$ \partial _2(e_2) = 2 e_1 $$

y

$$ \partial _1: \mathbb Z e_1 \longrightarrow \mathbb Z e_0 $$

$$ \partial _1(e_1) = e_0 - e_0 = 0. $$

Así, celulares homología resulta ser

$$ H_2 = \ker \partial _2 = 0, \qquad H_1 = \frac {\ker \partial _1}{\text {Im }\partial _2} = \frac {\mathbb Z}{2\mathbb Z} = \mathbb Z_2, \qquad H_0 = \mathbb Z , $$

con representantes de la $\ [e_1]\ $ $\ [e_0]. \ $ De curso $\ 2 [e_1] = 0.$

En cuanto a su elección de simplicial estructura, tenemos el complejo

$$ 0 \longrightarrow C'_2 \longrightarrow C'_1 \longrightarrow C'_0\longrightarrow 0 $$

donde la cadena de módulos se dan como

$$ C'_2 = \mathbb Z U \oplus \mathbb Z L, \qquad C'_1 = \mathbb Z a\oplus \mathbb Z b\oplus \mathbb c Z, \qquad C'_0 = \mathbb Z v \oplus \mathbb Z w. $$

Para los mapas, tenemos que elegir una orientación para la $2$-"simplexes" $U\ $ $\ L. \ $ I elegir en sentido antihorario para $U\ $ y el de las agujas del reloj para $\ L: \ $ esta opción hace que todo sea más sencillo, pero no es necesario. Los mapas de los límites son

$$ \partial '_2: \mathbb Z U \oplus \mathbb Z L \longrightarrow \mathbb Z a\oplus \mathbb Z b\oplus \mathbb Z c $$

$$ \partial '_2(U;0) = (-a;b;c), \qquad \partial '_2(0, L) = (a; b;c). $$

Puede ver en la imagen, para mi elección de orientaciones.

$$ \partial '_1: \mathbb Z a\oplus \mathbb Z b\oplus \mathbb Z c \longrightarrow \mathbb Z v \oplus \mathbb Z w $$

$$ \partial '_1 (a;0;0) = (-v;w), \qquad \partial '_1 (0;b;0) = (-v;w) \qquad \partial '_1 (0;0;c) = (0;0). $$

El último se deduce del hecho de que $\ \partial '_1 c = v-v.$

Así que, de nuevo:

$$ \ker \partial '_2 = \{(hU;kL) \C'_2 / \partial '_2 (hU;kL) = (0;0;0) \}, $$

que es

$$ -h+k = 0, \qquad h - k = 0, \qquad h+k = 0. $$

Esto es trivialmente visto implicar $\ h=k=0.$

Como estamos aquí, tenga en cuenta que $\ \partial '_2 (U;L) = (0;0;2c).$

$$ \ker \partial '_1 = \{(la;mb;nc) \C'_1 / \partial '_1 (la;mb;nc) = (-(l+m)v;(l+m)w) = (0;0) \}, $$

así

$$ l+m = 0 \ffi l=-m $$ y $$ \ker \partial '_1 = \{(-m;m;n) \ \forall m, n \in \mathbb z \}. $$

$$ \text {Im} \partial '_2 = \{(-h+k;h-k; h+k)\ h,k \in \mathbb Z \}. $$

Observe que $h-k\ $ $h+k \ $ tienen la misma paridad, por lo que este no es todo el núcleo de $\partial '_1: \ $ podemos ver que si $m $ $n$ no tienen la misma paridad, que no están en la imagen, mientras que si lo hacen, podemos encontrar $h$ $k:$

$$ h-k = m \qquad h+k = n, \ffi h = k + m \qquad 2k + m = n \iff 2k = n - m. $$

Así

$$ \frac {\ker (\partial '_1 )}{\text {Im} (\partial '_2)} = \mathbb Z_2. $$

Como para $H_0$, por supuesto Im$(\partial '_1 ) = \{(-sv;sw), \ s \in \mathbb Z\},\ $ $\ \mathbb Z.$

Como representantes de la homología de las clases, podemos tomar $(0;0;c)\ $ (esto es un ciclo, pero, puesto que el $0$ $1$ no tienen la misma paridad, no un límite, el) e $(v;0).$

Por lo tanto, estamos listos para nuestro explícita de los complejos de la cadena homomorphism que induce un isomorfismo en la homología: $$ f_* : C_* \longrightarrow C'_* $$

$$ f_2 : e_2 \longrightarrow (U;L) $$

$$ f_1 : e_1 \longrightarrow (0;0;c) $$

$$ f_1 : e_0 \longrightarrow (v;0) $$

Compruebe conmutatividad: $f_1 \circ \partial _2 (e_2) = f_1 (2 e_1) = (0;0;2c); \ \partial' _2 \circ f_2 (e_2) = \partial' _2 (U;L) = (0;0;2c). \ $ Visto antes. $f_0 \circ \partial _1 (e_1) = f_0 (0) = (0;0); \ \partial' _1 \circ f_1 (e_1) = \partial' _1 (0;0;c) = (0;0). \ $ Este mapa induce un isomorfismo en la homología porque $\ f_*([e_1]) = [(0;0;c)]\ $ $\ f_* ([e_0]) = [(v,0)], \ i. e. \ $ envía representantes a los representantes.