$\langle X, K(G, 1)\rangle \to H^1(X; G)$ envío de $f: X \to K(G, 1)$ a la inducida por homomorphism $f_*: H_1(X) \to H_1(K(G, 1)) \approx G$ es un bijection?

Question

Deje $\langle X, Y\rangle$ el conjunto de punto de base-la preservación de homotopy clases de punto de base-la preservación de los mapas de $X \to Y$.

Me puede mostrar el siguiente resultado.

Lema. Deje $X$ ser conectado a un CW complejo y deje $Y$$K(G, 1)$. A continuación, cada homomorphism $\pi_1(X, x_0) \to \pi_!(Y, y_0)$ es inducida por un mapa de $(X, x_0) \to (Y, y_0)$ que es único hasta homotopy fijación $x_0$.

Pregunta. ¿Cómo puedo ver que si $X$ está conectado a un CW complejo y $G$ es un grupo abelian, a continuación, el mapa de $\langle X, K(G, 1)\rangle \to H^1(X; G)$ el envío de un mapa de $f: X \to K(G, 1)$ a la inducida por la homomorphism $f_*: H_1(X) \to H_1(K(G, 1)) \approx G$ es un bijection, donde identificamos $H^1(X; G)$ $\text{Hom}(H_1(X), G)$ a través de el universal coeficiente teorema?

Answer 1

La estructura subyacente es que, para $G$ un abelian grupo, cualquiera que homomorphism $G' \to G$ está determinada únicamente por un homomorphism $\text{Ab}(G') \to G$ donde $\text{Ab}$ es el abelianization functor. Esto puede ser visto a través del siguiente diagrama conmutativo: $$ \requieren{AMScd} \begin{CD} G' @>>> G\\ @V\text{Ab}VV @| \\ \text{Ab}(G') @>>> G \end{CD} $$

Deje $\alpha \in H^1(X;G) \cong \text{Hom}(H_1(X),G)$. Deje $Y$$K(G,1)$. Podemos definir un mapa de $\overline{\alpha} : \pi_1(X,x_0) \to \pi_1(Y,y_0) \cong G$ por encima de la correspondencia. Por su declarado lema, vemos que hay un mapa de $g : (X,x_0) \to (Y,y_0)$, único hasta homotopy fijación $x_0$, de tal manera que $g_\ast = \overline{\alpha}$. La norma inducida por el mapa de ${g_\ast} : H_1(X) \to H_1(Y)$ está dado por la aplicación de la abelianization functor a $g_\ast : \pi_1(X) \to \pi_1(Y)$. El diagrama de arriba, abelianization de $\overline{\alpha}$ da $\alpha$. Así $$ \text{Ab}(g_\ast) = \text{Ab}(\overline{\alpha}) = \alpha. $$ Esto le da surjectivity de el mapa que nos interesa.

Para la inyectividad, después de la fijación de basepoints, vamos a $\alpha$ ser la imagen de un mapa de $f : (X,x_0) \to (Y,y_0)$ bajo el mapa de $\langle X,Y \rangle \to H^1(X;G)$, y aplicar el argumento de arriba para encontrar $g$. Tenga en cuenta que $g$ $f$ inducir el mismo mapa de $\overline{\alpha}$ en los grupos a través del diagrama anterior. Por la singularidad de $g$, podemos ver que $g$ $f$ son iguales en $\langle X, Y \rangle$. Esta prueba de inyectividad.