Deje $\langle X, Y\rangle$ el conjunto de punto de base-la preservación de homotopy clases de punto de base-la preservación de los mapas de $X \to Y$.
Me puede mostrar el siguiente resultado.
Lema. Deje $X$ ser conectado a un CW complejo y deje $Y$$K(G, 1)$. A continuación, cada homomorphism $\pi_1(X, x_0) \to \pi_!(Y, y_0)$ es inducida por un mapa de $(X, x_0) \to (Y, y_0)$ que es único hasta homotopy fijación $x_0$.
Pregunta. ¿Cómo puedo ver que si $X$ está conectado a un CW complejo y $G$ es un grupo abelian, a continuación, el mapa de $\langle X, K(G, 1)\rangle \to H^1(X; G)$ el envío de un mapa de $f: X \to K(G, 1)$ a la inducida por la homomorphism $f_*: H_1(X) \to H_1(K(G, 1)) \approx G$ es un bijection, donde identificamos $H^1(X; G)$ $\text{Hom}(H_1(X), G)$ a través de el universal coeficiente teorema?