Deje que $\mathbb{R}^{\infty}$ ser lineal en el espacio topológico de todas las secuencias $x=(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n},\ldots)$ de números reales con un producto de la topología, o, en otras palabras, dejar que $\mathbb{R}^{\infty}$ ser una contables producto de la línea real.
Es de $\mathbb{R}^{\infty}$ homeomórficos a $\mathbb{R}^{\infty}\setminus\{0\}$, donde $0=(0,0,\ldots,0,\ldots)$?
Si la respuesta es sí, ¿cómo demostrar este teorema?
Gracias de antemano!
La respuesta es sí.
En el Capítulo VI, § 2 de los Temas Seleccionados en Infinitas Dimensiones de la Topología (Bessaga & Pełczyński) se encuentra el sorprendente resultado de que $\mathbb{R}^\infty$, el espacio de Hilbert $\ell_2$ y la unidad de la esfera $S \subconjunto\ell_2$ son homeomórficos espacios (${}^*\!$). El fondo requerido (desarrollado en los capítulos anteriores) parece ser más amplia. De todos modos, demostrando de este resultado, que exhiben una explícita homeomorphism entre $S \smallsetminus \{\ast\}$ y $\ell_2$.
(${^*}\!$) además, hay una 1966 papel por Bessaga derecho de Cada infinito-dimensional espacio de Hilbert es diffeomorphic con su unidad de esfera
En "Infinito-dimensional de la Topología, los Requisitos previos y una introducción" de Jan van Molino (tabla de contenido) el autor demuestra una caracterización de $R^\infty$, también llamado $s$ en el libro, lo que le permite mostrar que para todo $\sigma$-subconjunto compacto de $Una$ de $\mathbb{R}^\infty$ tenemos que $\mathbb{R}^\infty \setminus$ es homeomórficos a $\mathbb{R}^\infty$. Existe una considerable maquinaria involucrada, pero es un muy elegante exposición de estas cuestiones, en mi humilde opinión. De modo que el infinito producto de copias de $\mathbb{R}$ se comporta de manera muy diferente de su finita de potencias, en el que homológica/homotopical métodos se pueden utilizar para mostrar por ejemplo $\mathbb{R}^n$ y $\mathbb{R}^n \setminus \{p\}$ no son homeomórficos.
Aunque esta no es tu pregunta original, $\mathbb{R}^{\infty}\setminus 0$ es localmente simplemente conectado.
Para demostrar que el uso universal de la propiedad de los productos en la categoría de espacios topológicos para levantar cualquier ruta de acceso de $[0,1] \rightarrow U(n):=\mathbb{R}^{n} \setminus 0$ para $n>2$. A continuación, observe que la inversa de imágenes de los sets de esta forma bajo la proyección de $\mathbb{R}^{\infty} \setminus 0 \a U(n)$ forman una base para el producto de la topología $\mathbb{R}^{\infty} \setminus 0$. Esto demuestra que este espacio es localmente simplemente conectado.
Creo que esta es la respuesta más sencilla a tu pregunta: el cono de $\mathbb{R}^{\infty}$ y el cono de $\mathbb{R}^{\infty}\setminus 0$ debe ser homeomórficos. Hay una buena descripción de estos dos conos como líneas en $\mathbb{R}^{\infty}$ que pasan por el origen. A partir de este hecho, usted puede construir un homeomorphism como los conos de menos el vértice deformar retractarse en sus respectivas bases.
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