¿Por qué las funciones "trigonométricas" hiperbólicas parecen encontrarse raramente?

Question

Funciones "trigonométricas" hiperbólicas como $\sinh$ , $\cosh$ tienen analogías cercanas con funciones trigonométricas regulares como $\sin$ y $\cos$ . Sin embargo, las versiones hiperbólicas parecen encontrarse relativamente poco. (Mi marco de referencia es el de alguien con estudios universitarios de primer y segundo año, pero no de matemáticas avanzadas).

¿Por qué? ¿Es porque las versiones hiperbólicas de estas funciones son menos comunes/útiles que las circulares?

¿Se pueden hacer las aplicaciones "habituales" (series de Taylor, series de Fourier) con funciones hiperbólicas como con trigonométricas?

No soy matemático profesional. He cursado tres semestres de cálculo y uno de álgebra lineal/ecuaciones diferenciales, y "apenas" sé de funciones hiperbólicas. La cuestión es con ese marco de referencia.

Answer 1

Se me ocurren dos razones.

1. Cuando hacemos geometría, solemos trabajar en el espacio euclidiano, donde la propiedad intrínseca de un segmento de línea entre dos puntos es su longitud, dada (en dos dimensiones) por $\ell^2 = \Delta x^2 + \Delta y^2$ . Se nos permite cambiar nuestro marco de referencia siempre que conservemos las longitudes, lo que significa que la transformación de $(\Delta x,\Delta y)$ es una rotación, y el vector transformado debe estar en el círculo $\Delta x^2 + \Delta y^2 = \operatorname{const}$ que naturalmente está parametrizada por $\sin$ y $\cos$ . Las variantes hiperbólicas no tienen mucho que ver con los círculos o con la rotación, por lo que no son relevantes aquí (a menos que las suministres con argumentos imaginarios, en cuyo caso estarás trabajando sólo con $\sin$ y $\cos$ disfrazado).

   Por otra parte, el escenario natural de la relatividad especial es Espacio de Minkowski donde la propiedad invariante del intervalo entre dos puntos del espaciotiempo es de la forma $s^2=\Delta x^2-\Delta t^2$ con un signo menos. Aquí los cambios permitidos del sistema de referencia vienen dados por Transformaciones de Lorentz el intervalo transformado se encuentra en $\Delta x^2-\Delta t^2=\operatorname{const}$ que es una hipérbola, y de hecho se encuentra que las funciones trigonométricas hiperbólicas son bastante útil en relatividad especial .

2. Las funciones trigonométricas habituales $\sin$ y $\cos$ son dos soluciones reales de la ecuación diferencial $y'' = -y$ que describe un oscilador armónico simple (un sistema conservativo en un pozo de potencial parabólico) que es un ejemplo central en gran parte de la física clásica. Las versiones hiperbólicas $\sinh$ y $\cosh$ son soluciones a $y'' = y$ en su lugar. Esta ecuación rara vez es útil para modelar sistemas físicos en la vida real porque todas sus soluciones son ilimitadas y adquieren cantidades infinitas de energía cinética. Incluso tomada localmente, la ecuación describe un equilibrio inestable, por lo que cualquier sistema real no pasará la mayor parte de su tiempo allí sin forzamiento adicional.

Answer 2

Yo diría que porque las funciones hiperbólicas se pueden escribir muy fácilmente en términos de funciones exponenciales. Con esto quiero decir que no necesitas $i$ como cuando expresas $\sin$ y $\cos$ utilizando $\exp$ . Eso significa que en el mundo "real", no es necesario utilizar $\sinh$ y $\cosh$ porque siempre se puede recurrir a $\exp$ pero no ocurre lo mismo con $\sin$ y $\cos$ . Sin embargo, yo no diría que las funciones hiperbólicas se encuentran raramente.

Muy a menudo me encuentro eligiendo funciones hiperbólicas sobre funciones exponenciales en el contexto de ODEs y PDEs con condiciones de frontera/iniciales en $0$ . (Creo que los estudiantes de segundo año deberían haber tomado/están tomando estas clases, ¿no?) El hecho de que $\sinh(0) = \cosh'(0) = 0$ y $\cosh(0) = \sinh'(0) = 1$ hace que su expresión sea mucho más limpia. Además, obtendrá $\sinh(ax)$ y $\cosh(ax)$ como dos soluciones de la EDO $y'' - a^2y = 0$ inmediatamente, de forma similar a como se obtiene $\sin(ax)$ y $\cos(ax)$ de $y'' + a^2y = 0$ . La variación de los parámetros también da $\sinh$ como núcleo al resolver la EDO no homogénea con condiciones de contorno de Dirichlet. Hay muchas cosas que se pueden expresar limpiamente en términos de funciones hiperbólicas.

Ah, y no olvides que $\tanh$ es una muy buena biyección de $\mathbb R$ a $(-1, 1)$ . Es gracioso que $\tanh$ parece $\frac 2\pi \arctan$ .

Answer 3

$\sinh$ y $\cosh$ parecen aparecer menos que sus homólogos circulares en el análisis real, como se explica bien en algunas otras respuestas. Sin embargo, las funciones hiperbólicas aparecen con bastante frecuencia en el análisis complejo. En Fórmula de Euler y su definiciones trigonométricas posteriores se constata que

$$\cos (ix) = \cosh x$$ $$\sinh (ix)=i\sin x$$

lo que supone una clara conexión entre las funciones trigonométricas hiperbólicas y circulares.

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Una de las aplicaciones de las funciones hiperbólicas que he utilizado personalmente es la integración. $$\cosh^2 x - \sinh^2 x=1$$ Esta identidad puede utilizarse a menudo en sustituciones para evaluar integrales con $x^2+1$ y $x^2-1$ (en lugar de $\sec$ y $\tan$ ), al igual que la identidad $\cos^2 x+\sin^2 x=1$ se puede utilizar para sustituciones para evaluar integrales con $1-x^2$ .

Por ejemplo, para evaluar

$$\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+1}}$$

podemos sustituir $x = \sinh u \implies dx = \cosh u \, du$ por lo que la integral se convierte en

$$\int \frac{\cosh u}{\sqrt{\sinh^2 u+1}}\, du = \int 1 \, du= u +C = \operatorname{arsinh} x + C$$

Y, por supuesto, las funciones hiperbólicas proporcionan una parametrización de la hipérbola estándar.

Answer 4

Tom,

La respuesta de Anon es buena, con una pequeña excepción (o quizás un gran error de concepto). Lo que la gente suele denominar "plano complejo" es un desafortunado error. Debería llamarse "plano de los números complejos". Al llamarlo plano complejo (que, por cierto, es un fenómeno bastante extendido), se induce a pensar que es C^2. No lo es. No es así. En realidad, es el plano real R^2, que se utiliza para representar los números complejos C (= C^1). Por lo tanto, yo mantendría (en apoyo de Anon) que la mejor manera de entender las funciones seno y coseno hiperbólicas es a través de la restricción de la continuación analítica de las funciones seno y coseno reales a la línea de números imaginarios del plano de números complejos. En cierto sentido, la continuación analítica de la función exponencial real hace ambas cosas por el precio de una.

Una cosa más, respecto a tu (sobre)reacción al comentario de Edgar. Ser matemático de formación es ampliamente más allá de los cursos en los que te encuentres por primera vez con las funciones trigonométricas hiperbólicas. Si te dedicas a las ciencias duras o a la ingeniería, las conocerás en un futuro próximo. Creo que ése era el mensaje de Edgar, nada más.

Answer 5

Pues sí, yo diría que sí. Al fin y al cabo, el seno y el coseno lo describen todo, desde la longitud de los lados de un triángulo rectángulo hasta el momento angular. La rotación es tan fundamental que estamos obligados a ver el seno y el coseno muy a menudo. Por supuesto $\sin$ y $\cos$ son justo la cara opuesta de la moneda exponencial de $\sinh$ y $\cosh$ desde

$$ \cosh x = \frac{1}{2}(e^{x} + e^{-x}) \, , $$ $$ \sinh x = \frac{1}{2}(e^{x} - e^{-x}) \, , $$ $$ \cos x = \frac{1}{2}(e^{ix} + e^{-ix}) \, , $$ $$ \sin x = \frac{1}{2i}(e^{ix} - e^{-ix}) \, . $$