Encontrar el error en la siguiente razón $(-z)^2=z^2 \implies \log(-z)^2=\log(z)^2 \implies2\log(-z)=2\log(z)\implies \log(-z)=\log(z)$

Question

Encontrar el error en el siguiente motivo

\begin{align*} (-z)^2=z^2 &\implies \log(-z)^2=\log(z)^2\\ &\implies2\log(-z)=2\log(z)\\ &\implies \log(-z)=\log(z) \end{align*}

Creo que el error radica en $2\log(-z)=2\log(z)$ $z=1$, $2\log(1)=0$, % y $2 \log(-1)$ es indefinido.

Lo que me está molestando es que este problema tiene una estrella, que significa que es un problema desafiante. No creo que sea tan fácil. Me pregunto si alguien podría comprobar si perdiste o hacer algún error.

Answer 1

El problema es que el $\log z$ es multivalor y así que requiere un corte de rama. $\log z=\log|z|+i\,\text{arg}\,z$. Podemos elegir la rama $-\pi<\text{arg}\,z\le\pi$. Ahora, que $z=e^{\frac{3\pi i}4}$. $$\log z=\log e^{3\pi i/4}=\frac{3\pi i}4.$$

Pero %#% $ #%

Edit: Esto demuestra que $$\log z^2=\log(-i)=-\frac{\pi i}2.$ no sostiene para los números complejos.

Answer 2

¿Vamos a hacer aún más sencillo: si sabes que $(-z)^2 = z^2$, necesariamente sigue que $-z = z$? ¿Por qué no?

Answer 3

El error está en la segunda implicación.

Si trabajamos en los números reales, tenemos que $\log x^2=2\log|x|$. Esto se desprende de la más general de la noción de Logaritmo Complejo, que es el que utilizamos cuando trabajamos con números complejos; es (brevemente) define de la siguiente manera (una vez que hayas elegido el director de la sucursal que permite trabajar con el llamado Principal Logaritmo) $$ \log z=\log|z|+i\arg z $$ donde $\log|z|$ es el registro real.

Claramente $\log|-z|=\log|z|$, pero en general $\arg(-z)$ es NO igual a $\arg z$ (muy a grandes rasgos, si usted escribe $z=re^{i\theta}$$\arg z=\theta$).