Razón inversa de función sobreyectiva

Question

Demostrar que si $f:X\to Y$ es una función sobreyectiva entre conjuntos, entonces debe existir una función $g:Y\rightarrow X$ tal que $f\circ g=1_Y$.

Sé que la función identidad es a, y si $f$ tiene razón inversa, entonces debe ser $f$ a; Aunque no he visto una prueba de ello. Una buena sugerencia sería buena.

Answer 1

Supongamos que $f\colon A\to B$ es sobreyectiva, entonces cada $b\in B$ el conjunto de $F_b=\{a\in A\mid f(a)=b\}$ es no vacío. Por lo tanto, usando el axioma de elección, hay un $g$ que selecciona un elemento de $F_b$, $g(F_b)\in F_b$.

Ahora demuestran que $g$ es realmente una función de $B$ $A$, y que $g$ es inyectiva.

(Usted no puede evitar el axioma de elección en esta prueba, porque de hecho esta declaración es equivalente a axioma de la opción y a menudo se toma como la declaración del axioma de elección).

Answer 2

¿Lo que le gustaría una mirada inversa? Para cada elemento $y$ $Y$, enviaría $y$ a un elemento de $X$ en la preimagen de $Y$. Usted puede hacer tal un mapa eligiendo $g(y)$ a cualquier punto en $f^{-1}(y).$