Caso límite de la interpolación de espacios de Banach

Question

Deje $B \subset A$ ser espacios de Banach con un continuo de incrustación.

Es la desigualdad $$ \|b\|_B \leq C \sup_{t > 0} \inf_{\tilde{b} \B} \{ \|b \tilde{b}\|_B + t \|\tilde{b}\|_ \} \quad \forall b \in B $$ válido para algunos $C \geq 1$?

¿Qué pasa si la inclusión es compacto?

Por ejemplo, tomar la secuencia de espacios de $B := \ell_2$ $A := \ell_\infty$ con las normas de $|\cdot|_\infty \leq |\cdot|_2$. Deje $b \in \ell_2$. Deje $K \geq 0$$\sup \inf$. Entonces, para cualquier $t > 0$, el infimizer satisface $|\tilde{b}|_\infty \leq K / t$, y reduce cada componente de $b$ a la mayoría de los $K/t$: $$ \inf_{\tilde{b} \in \ell_2} \{ |b - \tilde{b}|_2 + t |\tilde{b}|_\infty \}^2 \geq \sum_{n} \max\{ 0, |b_n| - K/t\}^2 . $$ Esta suma se a$|b|_2^2$$t \to \infty$, lo que implica la desigualdad con $C = 1$.

Answer 1

Editado. Claramente el reverso de la desigualdad se cumple siempre con $C = 1$. Aquí es por qué: $$\inf_{\tilde{b} \B} \{ \|b \tilde{b}\|_B + t \|\tilde{b}\|_ \} \le \|b - 0\|_B + t \|0\|_A = \| b\|_B $$ y por lo tanto $$ \sup_{t > 0} \inf_{\tilde{b} \B} \{ \|b \tilde{b}\|_B + t \|\tilde{b}\|_ \} \le \|b\|_B $$ para todos los $b \in B$. Por lo tanto, la desigualdad en su pregunta sólo puede ser correcta si $C \ge 1$.

Editado de nuevo. Un incorreect intentar demostrar la desigualdad ha sido retirada.